1996年全国数学联合竞赛试题（高中）
12一、选择题(本题满分36分，每题6分)
1、把圆
与椭圆
的公共点，用线段连接起来所得到的图形为（ ）。
（A）线段；（B）不等边三角形；（C）等边三角形；（D）四边形。
2、等比数列
的首项
，公比
,用
表示它的前
项之积。则
最大的是（ ）。
（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。
3、存在整数
，使
是整数的质数
（ ）。
（A）不存在；（B）只有一个；（C）多于一个,但为有限个；（D）有无穷多个。
4、设
，以下三个数
，
，
的大小关系是（ ）。
（A）
；（B）
；
（C）
/collect/201608/11/124548_4c5b5f5795a6415.gif
；（D）
/collect/201608/11/124548_4c5b5f579661b15.gif
。
5、如果在区间上函数
/collect/201608/11/124550_4c5b5f57971d115.gif
与
/collect/201608/11/124550_4c5b5f5797d8715.gif
在同一点取相同的最小值，那么
/collect/201608/11/123830_4c5b5f5720b5d15.gif
在该区间上的最大值是（ ）。
（A）
/collect/201608/11/124550_4c5b5f579893e15.gif
；（B）
/collect/201608/11/124550_4c5b5f57994f415.gif
；
（C）
/collect/201608/11/124550_4c5b5f579a0ab15.gif
；（D）以上答案都不对。
6、高为8的圆台内有一个半径为2的球O1，球心O1在圆台的轴上，球O1与圆台的上底面、侧面都相切，圆台内可再放入一个半径为3的球O2，使得球O2与球O1、圆台的下底面及侧面都只有一个公共点，除球O2，圆台内最多还能放入半径为3的球的个数是（ ）。
（A）1；（B）2；（C）3；（D）4。
二、填空题(本题满分54分，每小题9分)
1、集合
/collect/201608/11/124550_4c5b5f579ac6115.gif
的真子集的个数是 __________。
2、复平面上，非零复数
/collect/201608/11/124550_4c5b5f579b81815.gif
在以
/collect/201608/11/124132_4c5b5f574f5f415.gif
为圆心，1为半径的圆上，
/collect/201608/11/124550_4c5b5f579c3ce15.gif
的实部为零，
/collect/201608/11/123828_4c5b5f571b57815.gif
的辐角主值为
/collect/201608/11/124552_4c5b5f579ead915.gif
，则
/collect/201608/11/124552_4c5b5f579fa7715.gif
__________。
3、曲线C的极坐标方程是
/collect/201608/11/124552_4c5b5f57a062e15.gif
，点A的极坐标是（2，0），曲线C在它所在的平面内绕A旋转一周，则它扫过的图形的面积是 __________。
4、已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是 __________。
5、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的六个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染成不同的颜色。则不同的染色方法共有 __________ 种。（注：如果我们对两个相同的正方体染色后，可以通过适当的翻转，使得两个正方体的上、下、左、右、前、后六个对应面的染色都相同，那么，我们就说这两个正方体的染色方案相同。）
6、在直角坐标平面，以（199，0）为圆心，199为半径的圆周上整点（即横、纵坐标皆为整数的点）)的个数为 __________ 。
第二试（10月13日上午9:40－11:40）
一、（本题满分25分）设数列
的前项和
/collect/201608/11/124552_4c5b5f57a11e515.gif
，数列
/collect/201608/11/124552_4c5b5f57a1d9b15.gif
满足
/collect/201608/11/124552_4c5b5f57a295215.gif
，
/collect/201608/11/124552_4c5b5f57a350815.gif
,求数列
/collect/201608/11/124552_4c5b5f57a1d9b15.gif
的前
项和。
二、（本题满分25分）求实数
/collect/201608/11/125522_4c5b5f489960415.gif
的取值范围，使得对任意实数
/collect/201608/11/125520_4c5b5f489385015.gif
和任意
/collect/201608/11/124554_4c5b5f57a44a715.gif
恒有
/collect/201608/11/124554_4c5b5f57a505d15.gif
。
三、（本题满分35分）如图，圆O1和圆O2与△ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点，求证直线PA与BC垂直。
/collect/201608/11/124554_4c5b5f57a5c1315.gif
四、（本题满分35分）有
/collect/201608/11/124554_4c5b5f57a67ca15.gif
个人聚会。已知：（1）每个人至少同其中
/collect/201608/11/124554_4c5b5f57a738115.gif
个人互相认识；（2）对于其中任意
/collect/201608/11/124554_4c5b5f57a738115.gif
个人，或者其中有2人认识，或者余下的人中有2人相识。证明：这
个人中必有3人两两相识。
页:
[1]