1999年全国数学联合竞赛试题（高中）
12一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1、给定公比为
的等比数列
，设
，
，…，
，…，则数列
（A）是等差数列； （B）是公比为
的等比数列；
（C）是公比为
的等比数列； （D）既非等差数列又非等比数列。
[答]（C）
2、平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式
的整点
的个数是
（A）16； （B）17； （C）18； （D）25。
[答]（A）
3、若
，则
（A）
；（B）
；（C）
；（D）
。
[答]（B）
4、给定下列两个关于异面直线的命题：
命题I：若平面α上的直线
与平面β上的直线
为异面直线，直线
是α与β的交线，那么
至多与
，
中的一条相交；
命题II：不存在这样的无穷多条直线，它们中的任意两条都是异面直线。
那么
（A）命题I正确，命题II不正确；（B）命题II正确，命题I不正确；
（C）两个命题都正确； （D）两个命题都不正确。
[答]（D）
5、在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后退出，这样，全部比赛只进行了50场，那么在上述3名选手之间比赛的场数是
（A）0； （B）1； （C）2； （D）3。
[答]（B）
6、已知点A（1，2），过点（5，－2）的直线与抛物线
交于另外两点B、C，那么△ABC是
（A）锐角三角形； （B）钝角三角形； （C）直角三角形； （D）答案不确定。
[答]（C）
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
1、已知正整数
不超过2000，并且能表示成不少于60个连续正整数之和，那么这样的
的个数是__________。
[答] 6
2、已知
/collect/201608/11/125416_4c5b5f5879f4115.gif
，那么复数
/collect/201608/11/125418_4c5b5f587aaf715.gif
的辐角主值是__________。
[答]
/collect/201608/11/125418_4c5b5f587b6af15.gif
3、在△ABC中，记BC＝
，CA＝
，AB＝
，若
/collect/201608/11/125418_4c5b5f587c26515.gif
，则
/collect/201608/11/125418_4c5b5f587ce1b15.gif
__________。
[答]
/collect/201608/11/125418_4c5b5f587d9d215.gif
4、已知点P在双曲线
/collect/201608/11/125420_4c5b5f587e58815.gif
上，并且P到这条双曲线的右准线的距离恰是P到这条双曲线的两个焦点的距离的等差中项，那么P的横坐标是__________。
［答]
/collect/201608/11/125420_4c5b5f587f13f15.gif
5、已知直线
/collect/201608/11/125420_4c5b5f587fcf515.gif
中的
/collect/201608/11/125420_4c5b5f58808ac15.gif
是取自集合
/collect/201608/11/125420_4c5b5f588146215.gif
中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，那么这样的直线的条数是__________。
［答] 43
6、已知三棱锥S--ABC的底面是正三角形，A点在侧面SBC上的射影H是△SBC的垂心，二面角H--AB--C的平面角等于30°，SA＝
/collect/201608/11/125420_4c5b5f588201915.gif
，那么三棱锥S--ABC的体积为__________。
［答]
/collect/201608/11/125422_4c5b5f5882bcf15.gif
三、（本题满分20分）
已知当
/collect/201608/11/125422_4c5b5f588378615.gif
时，不等式
/collect/201608/11/125422_4c5b5f588433c15.gif
恒成立，试求
/collect/201608/11/125422_4c5b5f5884ef215.gif
的取值范围。
答案：
/collect/201608/11/125422_4c5b5f5885aa915.gif
，
/collect/201608/11/124916_4c5b5f585133f15.gif
是整数。
四、（本题满分20分）
给定A（－2，2），已知B是椭圆
/collect/201608/11/125422_4c5b5f588666015.gif
上的动点，F是左焦点。当
/collect/201608/11/125422_4c5b5f588721715.gif
取最小值时，求B的坐标。
答案：
/collect/201608/11/125424_4c5b5f5887dcd15.gif
。
五、（本题满分20分）
给定正整数
和正数
/collect/201608/11/125424_4c5b5f588898315.gif
，对于满足条件
/collect/201608/11/125424_4c5b5f588953a15.gif
的所有等差数列
/collect/201608/11/125424_4c5b5f588a0f015.gif
，试求
/collect/201608/11/125424_4c5b5f588aca715.gif
的最大值。
答案：
/collect/201608/11/125426_4c5b5f588b85e15.gif
。
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一九九九年全国高中数学联合竞赛试题
加 试
（10月10日上午10:00--12:00）
一、（本题满分50分）
如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：∠GAC＝∠EAC。
/collect/201608/11/125426_4c5b5f588c41415.gif
二、（本题满分50分）
给定实数
/collect/201608/11/125420_4c5b5f58808ac15.gif
，已知复数
/collect/201608/11/125426_4c5b5f588cfcb15.gif
满足：
/collect/201608/11/125426_4c5b5f588df6915.gif
,
/collect/201608/11/125426_4c5b5f588eb1f15.gif
,求
/collect/201608/11/125426_4c5b5f588f6d515.gif
的值。
三、（本题满分50分）
给定正整数
，己知用克数都是正整数的
/collect/201608/11/124916_4c5b5f585133f15.gif
块砝码和一台天平可以称出质量为1，2，3，…，
克的所有物品。
（1）求
/collect/201608/11/124916_4c5b5f585133f15.gif
的最小值
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；
（2）当且仅当
取什么值时，上述
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块砝码的组成方式是唯一确定的？并证明你的结论。
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