第二十九讲代数:关于集合、数、式之四
12B1-017 对任意非空实数集S,令σ(S)为S的元素之和.已知n个正整数的集A,考虑S跑遍A的非空子集时,所有不同和σ(S)的集.证明这些和可以分为n类,每一类中最大的和与最小的和的比不超过2.
【题说】 第二十五届(1996年)美国数学奥林匹克题2
【解】设A={a1,a2,…,an},a1<a2<…<an.令fj=a1+a2+…aj,ej=max{aj,fj-1}},则fj=fj-1+aj≤2ej(1≤j≤n).
每个和ai1+ai2+…+ait,i1<i2<…<it,必在某个区间(fj-1,fj]中.因为
ai1+ai2+ait>fj-1=a1+a2+…aj-1
所以
it≥j
从而
ai1+ai2+…+ait≥aj
于是ai1+ai2+…+ait∈.
这样σ(S)被分为n个类,在ej与fj之间的和为第j类(1≤j≤n),fj本身在第j类,而ej=fj-1时,ej不在第j类;ej>fj-1时,ej在第j类.每一类中最大的和与最小的和的比不超过2.
B1-018 设S={1,2,3,4),n项的数列:a1,a2,…,an有下列性质,对于S的任何一个非空子集B(B的元素个数记为|B|),在该数列中有相邻的|B|项恰好组成集合B.求n的最小值.
【题说】1997年爱朋思杯――上海市赛决赛题3.
【解】n的最小值为8.
首先证明S中的每个数在数列a1,a2,…,an中至少出现2次.事实上,若S中的某个数在这个数列中只出现1次,由于含这个数的二元子集共有3个,但在数列中含这个数的相邻两项至多只有两种取法,因而3个含这个数的二元子集不可能都在数列相邻两项中出现.
由此可见n≥8.
另一方面,8项数列:3,1,2,3,4,1,2,4满足条件,因此,所求最小值为8.
B1-019 求两个正整数m与n之间(m<n),一切分母为3的既约分数的和.
【题说】1962年成都市赛高三二试题1.
3(n-m)+1
项.其和
但其中整数项的和
故所求之和
S=S1-S2=n2-m2
B1-020 证明cos10°是无理数.
【题说】1963年合肥市赛高二二试题3.
【证】利用公式cos3x=4cos3x-3cosx,可得
cos30°=4cos310°-3cos10°
(1)
即
若cos10°是一个有理数,则(1)右端为有理数,而左端是一个无理数,矛盾,故cos10°为无理数.
B1-021 求出所有四元实数组(x1,x2,x3,x4),使其中任一个数与其余三数积的和等于2.
【题说】第七届(1965年)国际数学奥林匹克题4.本题由原苏联提供.
【解】设x1x2x3x4=d,则
显然d≤1.有以下五种情况:
所以 d=1,x1=x2=x3=x4=1.
所以d=1,x1=x2=x3=x4=1.
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