第二十讲整数问题：关于整除之三
12A4－014（a）对于什么样的整数n＞2，有n个连续正整数，其中最大的数是其余n－1个数的最小公倍数的约数？
（b）对于什么样的n＞2，恰有一组正整数具有上述性质？
【题说】第二十二届（1981年）国际数学奥林匹克题4．
【解】设n个连续正整数中最大的为m．
当n=3时，如果m是m－1，m－2的最小公倍数的约数，那么m整除（m－1）（m－2），由m|（m－1）（m－2）得m|2，与m－2＞0矛盾．
设n=4．由于
m|（m－1）（m－2）（m－3）
所以m|6，而m＞4，故这时只有一组正整数3，4，5，6具有所述性质．
设n＞4．由于m|（m－1）（m－2）…（m－n＋1），所以m|（n－1）！取m=（n－1）（n－2），则（n－1）|（m－（n－1）），（n－2）|（m－（n－2））．由于n－1与n－2互质，m－（n－1）与m－（n－2）互质，所以m=（n－1）（n－2）整除m－（n－1）与m－（n－2）的最小公倍数，因而m具有题述性质．
类似地，取m=（n－2）（n－3），则m整除m－（n－2）与m－（n－3）的最小公倍数，因而m具有题述性质．
所以，当n≥4时，总能找到具有题述性质的一组正整数．当且仅当n=4时，恰有唯一的一组正整数．
A4－018试求出所有的正整数a、b、c，其中1＜a＜b＜c，使得（a－1）（b－1）（c－1）是abc－1的约数．
【题说】第三十三届（1992年）国际数学奥林匹克题1．本题由新西兰提供．
【解】设x=a－1，y=b－1，z=c－1，则1≤x＜y＜z并且xyz是
（x＋1）（y＋1）（z＋1）－1=xyz＋x＋y＋z＋xy＋yz＋zx的约数，从而xyz是x＋y＋z＋xy＋yz＋zx的约数．
由于x＋y＋z＋xy＋yz＋zx＜3yz，所以x=1或2．
若x=1，则yz是奇数1＋2y＋2z的约数．由于1＋2y＋2z＜4z，所以y=3．并且3z是7＋2z的约数．于是z=7．
若x=2，则2yz是2＋3y＋3z＋yz
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