小学奥数数论问题数的整除练习题（十）

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　　甲、乙两人进行下面的游戏。两人先约定一个整数N，然后由甲开始，轮流把0、1、2、、、、9这10个数字之一填入□□□□□□的任一格中，每一方格只填一个数字，数字可以重复，填满后就形成了一个六位数。如果这个六位数能被N整除，就算乙胜；如果不能，就算甲胜。假设N小于15，那么当N取哪几个数时，乙才能取胜。

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        　　解析：由于甲先取，N如果是偶数，只要甲在最右边方格中放入一个奇数，就能使这个六位数不能被N整除，乙不能获胜。如果N=5，甲可以在最右边方格中填入一个不为0或5的数，乙也不能获胜。如果N=1，随便怎么取，乙必胜；如果N=3或9，乙在放入最后一个数时，总能把这6个数之和凑成3的倍数或9的倍数，乙也能胜；如果N=7、11、13时。我们注意到1001=3×11×13，举个例子1001×123=123123，我们把格子从左到右配好对了，第1格和第4格，第2格和第5格，第3格和第6个配对，甲在任意一对格子中放入一个数，乙就在这对格子的另一个格子中放入同样的数，那样这六位数肯定能被1001整除，也就能被7整除，乙获胜。
       
        　　所以，当N=1、3、7、9、11、13时，乙才能获胜