[奥数课堂]按规律数图形

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数学竞赛中常遇到数图形问题。这类问题一般都要先寻求规律，而后按照这个规律去数图形。数图形时要有次序、有条理，才能不遗漏、不重复。
　　因此，一般步骤应是：仔细观察、发现规律、应用规津。运用规律常能使解法简便。
[B]例[/B][B]1[/B] 下面两根线段中各有多少条线段？

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[B]解[/B] （1）由一条基本线段构成的线段有：
　　AB、BC、CD、DE，共4条；
　　由两条基本线段构成的线段有：
　　AC、BD、CE，共3条；
　　由三条基本线段构成的线段有：
　　AD、BE，共2条；
　　由四条基本线段构成的线段只有AE1条。
　　因此共有线段：
　　　　4+3+2+1
　　 =（4+1）×4÷2
　　 =10（条）
　　（2）可以采用（1）同样的解法：
　　由一条基本线段组成的线段有6条，
　　由两条基本线段组成的线段有5条，
　　由三条基本线段组成的线段有4条，
　　由四条基本线段组成的线段有3条，
　　由五条基本线段组成的线段有2条，
　　由六条基本线段组成的线段有1条，
　　共有线段：
　　　6+5+4+3+2+1
　　=（6+1）×6÷2
　　=21（条）
[B]答[/B] （1）中有10条线段。（2）中有21条线段。
　　这种先分类再排序的方法称为分类排序法。这样排序，不易遗漏和重复。
　　由以上例子可以推知，如果线段上有五个点，就构成了四条基本线段，总线段数为四个连续自然数的和：4+3+2+1。如果有n个点，线段总数为（n-1）+（n-2）+…+3+2+1=n×（n-1）÷2（条）。找到了这个规律，我们就可以运用这个公式来解答这类问题。
[B]例[/B][B]2 [/B]在∠AOB（图6－2）内有8条从O点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？

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[B]解[/B] 这问题类似于例1，
　　10×9÷2=45（个）
[B]答[/B] 图中有45个角。
[B]解[/B][B]3 [/B]数一数，图6－3一共有几个长方形？

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[B]分析[/B] 可以按照顺序去数长方形的个数，也可以通过分析研究，找出数长方形的规律。长方形是由长和宽组成的，
　　图中共有3个长（横向线段）、3个宽（竖向线段），
[B]
解
[/B]
　　3×3＝9（个）
[B]答[/B] 图中共有9个长方形。
　　这一类型的问题在后面还要专门讨论。
[B]例[/B][B]4 [/B]如图6－4。

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　　（1）如上图这样的形状，如果最底层有11个三角形，那么这堆小三角形共有多少个？
　　（2）现在共有169个小三角形，按上图排列，那么最底层三角形有几个？
[B]分析[/B] 根据图示可以得到规律，底层与总数有“2→4，3→9， 4→16”的关系。而 22＝4，33=9，44＝ 16，就是：“底层的个数的平方正好等于总数”。所以可得：
　　（1）下层有11个小三角形，共有
　　11×11= 121（个）
　　（2）因为13 ×13＝ 169，所以 169个小三角形如上图排列，底层有13个小三角形。
[B]
练     习
[/B]
　　1．线段AB上除两端外有49个点，问这条线段上共有多少条线段？
　　2．下图中共有多少个三角形？

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　　3．把长2厘米、宽1 厘米的长方形硬纸片按照下图一层层叠起来。
　　（1）如果叠5层，周长是（ ）厘米。
　　（2）如果周长是120厘米，共有（ ）层。
　

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