数论之完全平方数练习3

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　　1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
　　2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。
　　3、求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。
　　4、求满足下列条件的所有自然数：
　　(1)它是四位数。
　　(2)被22除余数为5。
　　(3)它是完全平方数。
　　5、甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？
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　　1、一个自然数减去45及加上44都仍是完全平方数，求此数。
　　解：设此自然数为x，依题意可得
　　x-45=m^2; (1)
　　x+44=n^2 (2)
　　(m,n为自然数)
　　(2)-(1)可得 :
　　n^2-m^2=89或： (n-m)(n+m)=89
　　因为n+m>n-m
　　又因为89为质数，
　　所以：n+m=89; n-m=1
　　解之，得n=45。代入(2)得。故所求的自然数是1981。
　　2、求证：四个连续的整数的积加上1，等于一个奇数的平方(1954年基辅数学竞赛题)。
　　分析 设四个连续的整数为，其中n为整数。欲证
　　是一奇数的平方，只需将它通过因式分解而变成一个奇数的平方即可。
　　证明 设这四个整数之积加上1为m，则
　　m为平方数
　　而n(n+1)是两个连续整数的积，所以是偶数；又因为2n+1是奇数，因而n(n+1)+2n+1是奇数。这就证明了m是一个奇数的平方。
　　3、求证：11,111,1111,这串数中没有完全平方数(1972年基辅数学竞赛题)。
　　分析 形如的数若是完全平方数，必是末位为1或9的数的平方，即
　　或
　　在两端同时减去1之后即可推出矛盾。
　　证明 若，则
　　因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
　　若，则
　　因为左端为奇数，右端为偶数，所以左右两端不相等。
　　综上所述，不可能是完全平方数。
　　另证 由为奇数知，若它为完全平方数，则只能是奇数的平方。但已证过，奇数的平方其十位数字必是偶数，而十位上的数字为1，所以不是完全平方数。
　　4、求满足下列条件的所有自然数：
　　(1)它是四位数。
　　(2)被22除余数为5。
　　(3)它是完全平方数。
　　解：设，其中n,N为自然数，可知N为奇数。
　　11｜N - 4或11｜N + 4
　　或
　　k = 1
　　k = 2
　　k = 3
　　k = 4
　　k = 5
　　所以此自然数为1369, 2601, 3481, 5329, 6561, 9025。
　　5、甲、乙两人合养了n头羊，而每头羊的卖价又恰为n元，全部卖完后，两人分钱方法如下：先由甲拿十元，再由乙拿十元，如此轮流，拿到最后，剩下不足十元，轮到乙拿去。为了平均分配，甲应该补给乙多少元(第2届“祖冲之杯”初中数学邀请赛试题)？
　　解：n头羊的总价为元，由题意知元中含有奇数个10元，即完全平方数的十位数字是奇数。如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6。所以，的末位数字为6，即乙最后拿的是6元，从而为平均分配，甲应补给乙2元。