六年级数学教案——《分数的除法》

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　　根据量、度量单位（基准量）与量数的基本关系：
　　量＝度量单位（基准量）×量数。
　　我们已经知道：当a、b是自然数，且b≠0时，除法算式a÷b表示两种意义：
　　⑴由量÷基准量（度量单位）＝量数，可知：a÷b可以表示a是b的几倍或几分之几。这时a与b表示两个量。
　　⑵由量÷量数＝基准量（度量单位），可知：a÷b可以表示什么数的b倍等于a，或者把a平均分成b份，每份是多少。这时a表示一个量，b表示量数（用所求的量去度量a所得的结果）。
　　从实际问题抽象出来的除法算式a÷b，究竟表示上述两种意义中的哪一种，必须结合具体情景才能来确定。
　　当a、b为分数时，除法算式a÷b仍然具有上述两种意义，但必须探索它的算法。分数除法的算法分两种情形来探索：一是除数是整数的情形；二是除数是分数的情形。
　　一、除数是整数的分数除法
　　下图（图1）是一个长方形，把它的涂色部分平均分成2份，每份是这个长方形的几分之几？
　　图1
　　我们可以从前面的“分数墻”上直接看出这个结果。
　　但是，我们还需要探索，从算式÷2怎么算出结果呢？
　　算法1：÷2＝＝。
　　一个分数的分子缩小到原来的一半，分母不变，所得的分数就是原来的一半。
　　算法2：因为的一半等于的，所以，
　　÷2＝×＝。
　　比较上面两种算法，算法1有局限性，它转化为两个整数的除法运算，可是在整数范围除法并非总能实施，畅通无阻。
　　如果图1中的涂色部分平均分成3份，每份是这个长方形的几分之几？
　　算式：÷3＝？
　　上面的算法1就行不通了，算法2行得通。
　　因为÷3＝的，所以，
　　÷3＝×＝。图2
　　图2中的斜线部分是长方形的，也验证了上面的算法是正确的。
　　从以上的探索结果，可以产生一个猜想：除以一个整数（零除外）等于乘这个整数的倒数。
　　这个猜想是否成立？有待检验。
　　理解分数除法的意义，还有另一条重要途径。
　　在探索分数乘法意义的时候，我们得到一个重要的数量关系：
　　量＝度量单位×量数
　　从这个基本关系可以引伸出两个变式：
　　量÷量数＝度量单位，
　　或量÷度量单位＝量数。
　　因此，对于除法算式÷3＝？的意义，可以作这样解释：用什么数为度量单位去度量时，量数是3？于是便有下面的代数解法：
　　设÷3＝x，
　　可得，3x＝，
　　x＝×，
　　x＝。
　　即÷3＝。
　　在图2中，用斜线部分（即）为度量单位去度量涂色部分（即）时，量数的确是3。这里，我们又看到了，代数的方法与图形的直观相互印证，和谐统一。
　　代数在解法的过程中，注意到÷3＝x和x＝×，
　　得÷3＝×。
　　这也验证了一个数学事实：除以一个自然数（零除外）等于乘这个数的倒数。
　　二、除数是分数的除法
　　这个探索其实不必再从具体情景或实际操作入手。
　　因为前面在探索除数是整数的分数除法的时候，已经获得了重要的数学事实：除以一个自然数（零除外）等于乘这个数的倒数。因此，可以类比，得到猜想：除以一个分数是否等于乘这个分数的倒数呢？
　　验证这个猜想，除了教材提供的方法外，还有其他途径。
　　途径1：用代数方法检验。
　　计算：8÷＝？
　　设8÷＝x，
　　可得，x＝8，
　　x＝8×，
　　x＝12。
　　注意到8÷＝x和x＝8×，即8÷＝8×。
　　途径2：从已知到未知的推理。
　　8÷＝8×（1÷）
　　＝8×根据倒数关系：×＝1
　　＝12。
　　因此，无论除数是整数还是分数，分数除法只有如下法则：
　　除以一个数（零除外）等于乘这个数的倒数。
　　这个法则也告诉我们，倒数概念的重要性：有了倒数，乘法和除法两种不同的运算可以统一为乘法运算。
　　（2006年10月2日，写于福州，修改于2007年2月26日）