小学奥数难题分析：特殊数题

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　　小学奥数难题分析：特殊数题
        　　(1)21-12
        　　当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
        　　因为这样的两位数减法，最低起点是21-12，差为9，即(2-1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31-13=(3-1)×9=18。减数从12—89，都可类推。
        　　被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如
        　　210-120=(2-1)×90=90，
        　　0.65-0.56=(6-5)×0.09=0.09。
        　　(2)31×51
        　　个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
        　　

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        　　若十位数字的和满10，进1。如
        　　

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        　　证明：(10a+1)(10b+1)
        　　=100ab+10a+10b+1
        　　=100ab+10(a+b)+1
        　　(3)26×86 42×62
        　　

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        　　个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。
        　　证明：(10a+c)(10b+c)
        　　=100ab+10c(a+b)+cc
        　　=100(ab+c)+cc (a+b=10)。
        　　(4)17×19
        　　十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
        　　原式=(17+9)×10+7×9=323
        　　证明：(10+a)(10+b)
        　　=100+10a+10b+ab
        　　=[(10+a)+b]×10+ab。
        　　(5)63×69
        　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。
        　　原式=(63+9)×6×10+3×9
        　　=72×60+27=4347。
        　　证明：(10a+c)(10a+d)
        　　=100aa+10ac+10ad+cd
        　　=10a[(10a+c)+d]+cd。
        　　(6)83×87
        　　十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如
        　　

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        　　证明：(10a+c)(10a+d)
        　　=100aa+10a(c+d)+cd
        　　=100a(a+1)+cd(c+d=10)。
        　　

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        　　(7)38×22
        　　十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
        　　原式=(30+8)×(30-8)
        　　=302-82=836。
        　　(8)88×37
        　　被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。
        　　

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        　　(9)36×15
        　　乘数是15的两位数相乘。
        　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10;是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。
        　　

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        　　(10)125×101
        　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125+1=126。
        　　原式=12625。
        　　再如348×101，因为348+3=351，
        　　原式=35148。
        　　(11)84×49
        　　一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
        　　原式=8400÷2-84
        　　=4200-84=4116。
        　　(12)85×99
        　　两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
        　　原式=8500-85=8415
        　　

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        　　不难看出这类题的积：
        　　最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差;
        　　最低位上的两位数，是100与被乘数的差;
        　　中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
        　　证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则
        　　

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        　　如果被乘数的个位数是1，例如
        　　31×999
        　　在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
        　　71×9999=709999-70=709929。
        　　这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a+1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n-1)的形式，其积为
        　　

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        　　(13)1÷19
        　　这是一道颇为繁复的计算题。
        　　原式=0.052631578947368421。
        　　根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。
        　　原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：
        　　(1)先用0.1÷2=0.05。
        　　(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除
       

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        　　如此除到循环为止。
       

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        　　仔细分析这个算式：
        　　加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1=0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。
        　　除数末位是9，都可用此法计算。
        　　例如1÷29，用0.1÷3计算。
        　　1÷399，用0.1÷40计算。