[高级难度真题]球队比赛

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　　解析：将7支球队看成7个点，并且这7个点任意三点不共线。在每两点之间连接一条线段，代表这两个球队之间需要打一场比赛，如果这场比赛已经进行，则将这条线段染成红色。7个点之间可以连接21条线段，并且可以构成35个不同的三角形，此时题目即可转化为当每个三角形都至少有一条红色的边时，21条线段中至少有多少条被染成红色？
        　　由于每条线段都在5个三角形中，且35÷5=7，所以至少有7条线段染色，才有可能满足要求。如果这是可能的，那么每个三角形有且只有一条红边，即每个点只能引出一条红色线段。但是由于7个点共要引出7×2=14条红色线段，所以至少有一个点引出至少2条红色线段，矛盾。所以，只有7条线段染色是不可能满足要求的。
        　　假设有8条线段染色可以满足要求，8×5-35=5，所以最多可以有5个三角形有不只一条红边。由于此时7个点共要引出8×2=16条红色线段，所以至少有一个点引出至少4条红色线段或者有两个点引出至少3条红色线段。当有一个点引出至少4条红色线段时，每两条线段所在的三角形都有2条红边，而这样的三角形共有6个，与最多可以有5个三角形有不只一条红边矛盾，所以这种情况是不可能的。当有两个点引出至少3条红色线段时，每个点引出的3条红色线段都会构成3个有2条红边的三角形，还是至少有6个有2条红边的三角形，所以这种情况也是不可能的，即只有8条线段染色是不可能满足要求的。
        　　当有9条线段染色时，将其中4个点之间的6条线段全部染色，再将另外3个点之间的3条线段全部染色，即可满足要求。所以7支球队至少要进行9场比赛，才能使得任何3支球队间至少有两支球队之间的比赛已经赛过。