六年级奥数难题（2010.4.08）：发帽子

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　　学而思奥数难题以小学4-6年级的杯赛题为来源，试题挑选、答案详解准确性均经学而思奥数名师鉴证；根据对历年杯赛真题的研究、总结及归纳，结合了赛题中的高频考点、难点、易错点、以及最近几年命题趋势所得；适合志在杯赛中夺取佳绩的学生。

　　小明和8个好朋友去李老师家玩.李老师给每人发了一顶帽子，并在每个人的帽子上写了一个两位数，这9个两位数互不相同，且每个小朋友只能看见别人帽子上的数.老师在纸上又写了一个数A，问这9位同学：“你知不知道自己帽子上的数能否被A整除?知道的请举手.”结果有4人举手.老师又问：“现在你知不知道自己帽子上的数能否被24整除?知道的请举手.”结果有6人举手.已知小明两次都举手了，并且这9个小朋友都足够聪明且从不说谎，那么小明看到的别人帽子上的8个两位数的总和是----------.

  


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选题编辑：沈丽娟老师
　　毕业于华南师范大学数学与应用数学 (师范)专业，学而思专职教师，中国数学奥林匹克二级教练员。在大学期间修读“竞赛数学”，成绩优异。对中小学奥数知识体系了解透彻，重难点把握到位。辅导的学生中多人获得“华杯赛”奖项。
教学特色：
　　1、语言生动幽默，十分有亲和力，易于学生接受。2、拥有很强的数学功底，同时善于解题和总结。3、上课思路清晰、讲解透彻，注重知识及思维的发生、发展过程，深入浅出进行引导，善于联系学生的生活经验为学生构建形象生动的情境，帮助学生理解题目。

老师教你解难题-试题详解
一个人不知道自己帽子上的数是多少，却能知道这个数能否被A整除，只有一个可能，就是A的倍数中的两位数都出现在其他人的帽子上，这样他可以知道自己帽子上的数肯定不是A的倍数.
由于有4个人知道自己帽子上的数能否被A整除，另外5个人不确定，故这4个人看到了所有的A的两位倍数，这些数恰好在那5个不确定的人的帽子上.故两位数中A的倍数有5个，则5A
假设第1轮举手中，帽子上写有A的5个倍数的人分别为a1，a2，a3，a4，a5，另外四个人除小明外还有b1，b2，b3，由于a1，a2，a3，a4，a5这5个人都非常聪明，他们看到小明和b1，b2，b3三个人能知道，说明这四个人看到了A的所有两倍数，都在他们5个人头上，而他们都能看到另外4个人头上的数，所以也都能推断出自己头上的数分别为A，2A，3A，4A，5A.
第2轮举手中，由于a1，a2，a3，a4，a5都知道了自己头上的数，所以可以确定自己头上的数是否能被24整除.而小明能知道，说明他又看到了24的所有两位倍数，即24，48，72，96都出现在了其他8个人头上的数中了.而除去a1，a2，a3，a4，a5和小明六人外，只有b1，b2，b3三个人了，所以24，48，72，96中必定有一个数在A，2A，3A，4A，5A中出现了.
那么只有可能是A=18，4A=72是24倍数.此时b1，b2，b3三个人头上的数分别为24，48，72，96
所以小明看到的8个数的总和是18+36+54+72+90+24+48+96=438.
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