雪花曲线和反雪花曲线

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　　由等边三角形开始，可以形成两种有趣的系列曲线，如右图。将等边三角形的每一边三等分，再取中间那一等分作较小的等边三角形。然后在所形成的曲线的每一段直线上，同样作三等分，继续作更小的等边三角形。以此类推，就可以形成一系列的雪花曲线。
　　我们用非常类似的方法也可以作出反雪花曲线，只要在三等分的地方向内作等边三角形即可。
　　画出这种曲线最简单的方法是利用方格纸，并将一开始的等边三角形每边定为9个单位长。
　　如果开始的三角形周长是L个单位，那么系列中第一条曲线及第二条曲线的周长分别是4/3L及(4/3)2L。请说明为什么。
　　相对应的反雪花曲线的周长又是多少？
　　这两种系列的第十条曲线，周长各是多少？
　　研究一下雪花曲线与反雪花曲线的面积各是多少，以开始的三角形面积A来表示。
分析与解答：
　　雪花曲线是科克(von Koch)所发明的，他以此来证明一条曲线可以拥有无限的长度，但是却只包围有限的面积。
　　雪花形以及反雪花形曲线，两者由系列中的某条曲线改变到下条曲线时，它的周长会乘以4/3，因为每一段直线的中央1/3部分会被两段新的直线所取代，而它们的长度为原线段的1/3。

　　因此，互相对应的雪花形和反雪花形曲线的周长是一样的。系列中第十条曲线的周长是(4/3)10L，而第n条曲线的周长为(4/3)nL。
　　系列中前两条雪花曲线包围的面积分别是：
　　其通式为：

　　其中An表示第n条雪花曲线包围的面积。
　　前两条反雪花形曲线包围的面积分别是：

　　其通式为：

　　一个系列不断继续下去的极限观念是本题的特点，也是学习数学的基础。就是这些观念经常会激发那些未来将成为数学家的孩子的想象力。