五年级奥数难题（2010.3.16）：卡片数量

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　　学而思奥数难题以小学4-6年级的杯赛题为来源，试题挑选、答案详解准确性均经学而思奥数名师鉴证；根据对历年杯赛真题的研究、总结及归纳，结合了赛题中的高频考点、难点、易错点、以及最近几年命题趋势所得；适合志在杯赛中夺取佳绩的学生。
　　n张卡片，每张上写—个不为0的自然数，彼此不同，小李和另外(n-1)个小朋友做游戏，每人任意取—张，共取n次，每次各人记下自己取得的数字后，仍将卡片放回，最后各人计算自己取得的数字和作为得分，并按得分多少排名。已知小李n次取得的数字各不相同，其余的小朋友的得分彼此不相同，他们(不包括小李)得分之和为2001。问n等于多少?小李最高能是第几名?

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选题编辑：季逵老师
　　北京学而思天津分校全职奥数教师。季老师在学生阶段就有学习奥数的经历，在学生时期师从黄玉民、李建泉等国内的多位奥赛名师，曾入选较高层次的数学竞赛“数学冬令营”。季老师从小学接触奥数，系统的学习了奥数思想，对竞赛试题有了较为全面的分析和理解。
教学特色：
　　1、从小学3年级接触奥数至今，获得全国联赛等多次竞赛的一二等奖，有丰富的数学竞赛经验。2、做小学中高年级的教研并编写修改讲义等，对小学奥数能够全面的了解和掌握3、喜欢将数学故事、数学游戏用到课上，增加数学的趣味性和与学生的互动。

老师教你解难题-试题详解
设卡片上的数字为，每发一轮卡片，所有小朋友（包括小李）的得分和是a1,a2,a3,……,an，
取n次后，所有小朋友（包括小李）的得分和是n×（a1+a2+a3+……+an），因为小李n次
取得的数字各不相同，小李的得分刚好等于，n－1个小朋友的得分和为
（n－1）×（a1+a2+a3+……+an）＝2001＝3×23×29.如果n－1＝23，则n＝24，此时
即便卡片上的数即便是取最小的数，即从1取到24，n－1个小朋友的得分也应为
23×（1＋2＋3＋…＋24）＝6900＞2001，与题设矛盾.故n－1只能取3，所以
n＝4，a1+a2+a3+……+an＝23×29＝667.即小李的得分是667，因为3×667＝2001，所
以其它3人的得分中，必有一个分数大于667，小李最高为第二名.（此题华杯赛网站给出的
n＝667的答案有误，另外试题表述也不太明晰，是一轮卡片发完后，再将卡片放回去，否
则，如果其它小朋友都取到最小的卡片，小李肯定是第一名）.
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