五年级奥数难题（2010.3.17）：糖果

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　　学而思奥数难题以小学4-6年级的杯赛题为来源，试题挑选、答案详解准确性均经学而思奥数名师鉴证；根据对历年杯赛真题的研究、总结及归纳，结合了赛题中的高频考点、难点、易错点、以及最近几年命题趋势所得；适合志在杯赛中夺取佳绩的学生。
　　有若干名小朋友，第一名小朋友的糖果比第二名小朋友的糖果多2块，第二名小朋友的糖果比第三名小朋友的糖果多2块，…，即前一名小朋友总比后一名小朋友多2块糖果。他们按次序围成圆圈做游戏，从第一名小朋友开始给第二名小朋友2块糖果，第二名小朋友给第三名小朋友4块糖果，…，即每一名小朋友总是将前面传来的糖果再加上自己的2块传给下一名小朋友，当游戏进行到某一名小朋友收到上一名小朋友传来的糖果但无法按规定给出糖果时，有两名相邻小朋友的糖果数的比是13∶1，问最多有多少名小朋友？

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选题编辑：季逵老师
　　北京学而思天津分校全职奥数教师。季老师在学生阶段就有学习奥数的经历，在学生时期师从黄玉民、李建泉等国内的多位奥赛名师，曾入选较高层次的数学竞赛“数学冬令营”。季老师从小学接触奥数，系统的学习了奥数思想，对竞赛试题有了较为全面的分析和理解。
教学特色：
　　1、从小学3年级接触奥数至今，获得全国联赛等多次竞赛的一二等奖，有丰富的数学竞赛经验。2、做小学中高年级的教研并编写修改讲义等，对小学奥数能够全面的了解和掌握3、喜欢将数学故事、数学游戏用到课上，增加数学的趣味性和与学生的互动。

老师教你解难题-试题详解
设有n名小朋友，共传k圈（最后一名传k－1圈），中断时各人手中糖数为a. 先研究a的取值，
0中断（最后一名手中无糖可传）时，an＝2nk－2，an-1＝0，a1＝2n－4；1中断（最后一
名手中只有一块糖）时，an＝2nk－1，an-1＝1，a1＝2n－3.分六种情况讨论：
（1）0中断，an∶an-1＝13∶1，即

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，显然无解.
（2）0中断，an∶a1＝13∶1，即

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=> 26n－52＝2nk－2 => n（13－k）＝25
　可得n＝25，k＝12（n＝5，k＝8舍去）
（3）0中断，a1∶an＝13∶1，即

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=> 26nk－26＝2n－4 =>n（13k－1）＝11，
无整数解.
（4）1中断，an∶an-1＝13∶1，即

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=> 2nk－1＝13 => nk＝7，
　可得n＝7，k＝1（n＝1，k＝7舍去）
（5）1中断，an∶a1＝13∶1，即

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=> 26n－39＝2nk－1 =>n（13－k）＝19，
　可得n＝19，k＝12
（6）1中断，a1∶an＝13∶1，即

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=> 26nk－13＝2n－3 =>n（13k－1）＝5，
无整数解.
　
由以上分析可得，最多有25位小朋友.
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