小学数学解题思路训练——成对的幂数

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　　小学数学解题思路训练——成对的幂数
　　一个自然数是另一个自然数的整数幂（幂指数大于1），或者是几个自然数的整数幂（幂指数都大于1）的乘积，那这个自然数就叫做幂数。
　　4=22，8=23，9=32，72=23×32，就都是幂数。
　　8和9是两个连续的幂数。请你想一想，能不能再举几对连续的幂数？
　　更进一步，能不能证明有无穷多对连续的幂数？
　　这个题是不容易。不过，你能想到已经算过的（2n+1）2=4n（n+1）+1它又变得容易了。
　　你看，要是n、n＋1是一对连续的幂数，而且4是幂数，那么4n（n＋1）是幂数，4n（n＋1）＋1＝（2n＋1）2也是幂数。这样，我们使得到了：
　　4n（n＋1）与4n（n＋1）＋1是一对连续的幂数。
　　从8与9，可得到4×8×9与4×8×9＋1是一对连续的幂数。从这对幂数又可造出一对更大的连续的幂数。这样继续的造下去，可见有无穷多对连续的幂数。
　　现在，再来考虑一个问题：
　　找出自然数a1，a2，a3，使得a12+a22，a12+a22+a32，a12+a22+a32+a42，都是平方数。
　　你已经算过：
　　（2k+1）2+[2k（k+1）]2=（2k2+2k+1）2表明一个奇数2k＋1的平方加上另一个偶数2k（k＋1）的平方，还是一个奇数的平方。
　　要是取2k＋1＝3，得a12+a22=32+42=52再取2k＋1＝5，得a12+a22+a32＝52+122=132.
　　再取2k＋1＝13，得a12+a22+a32+a42，＝132+842=852.
　　继续下去，便得到所需要的一串数a1，a2，a3，这样算算看看想想，收获不小。