史坦那(Steiner)问题

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　　4个大城市位于边长20km之正方形的4个顶点上(图中A、B、C、D)。因各城市之间交通量增加，政府决定在这些城市之间兴建公路网。为降低成本，政府要求工程师设计出总长度最短的路线。


　
　　工程师考虑多种设计方法，其中3种方法图示于上，他们一致认为最短的路线为建造AC及BD两条道路，其总长度是56.5km。但是实际上这并非最短的路线，有一种更好的设计方法，你能帮他们想出来吗？
解答与分析
　　这是一个非常有趣的题目，最短的设计路线如图1所示。此设计中的公路有两个皆为120°的三叉路口。通过三角函数的计算可以知道这两条线路的总长度为 54.6 km。为证明这个问题，可将4枚钉子置于两块透明的塑胶板之间，形成正方形的4个顶点，然后让肥皂薄膜在中间膨胀，即可看出来(图2)。此类问题一般称之为史坦那(Steiner)问题。史坦那为德国数学家，他首先注意到这一问题。