（上册）第四讲 带余数的除法

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　　前面我们讲到除法中被除数和除数的整除问题.除此之外，例如：16÷3=5…1，即16=5×3+1.此时，被除数除以除数出现了余数，我们称之为带余数的除法。
　　一般地，如果a是整数，b是整数（b≠0），那么一定有另外两个整数q和r，0≤r＜b，使得a=b×q+r。
　　当r=0时，我们称a能被b整除。
　　当r≠0时，我们称a不能被b整除，r为a除以b的余数，q为a除以b的不完全商（亦简称为商）.用带余除式又可以表示为a÷b=q…r，0≤r＜b。
例1 一个两位数去除251，得到的余数是41.求这个两位数。
分析 这是一道带余除法题，且要求的数是大于41的两位数.解题可从带余除式入手分析。
　　解：∵被除数÷除数=商…余数，
　　即被除数=除数×商+余数，
　　∴251=除数×商+41，
　　251-41=除数×商，
　　∴210=除数×商。
　　∵210=2×3×5×7，
　　∴210的两位数的约数有10、14、15、21、30、35、42、70，其中42和70大于余数41.所以除数是42或70.即要求的两位数是42或70。
例2 用一个自然数去除另一个整数，商40，余数是16.被除数、除数、商数与余数的和是933，求被除数和除数各是多少？
　　解：∵被除数=除数×商+余数，
　　即被除数=除数×40+16。
　　由题意可知：被除数+除数=933-40-16=877，
　　∴（除数×40+16）+除数=877，
　　∴除数×41=877-16，
　　除数=861÷41，
　　除数=21，
　　∴被除数=21×40+16=856。
　　答：被除数是856，除数是21。
例3 某年的十月里有5个星期六，4个星期日，问这年的10月1日是星期几？
　　解：十月份共有31天，每周共有7天，
　　∵31=7×4+3，
　　∴根据题意可知：有5天的星期数必然是星期四、星期五和星期六。
　　∴这年的10月1日是星期四。
例4 3月18日是星期日，从3月17日作为第一天开始往回数（即3月16日（第二天），15日（第三天），…）的第1993天是星期几？
　　解：每周有7天，1993÷7=284（周）…5（天），
　　从星期日往回数5天是星期二，所以第1993天必是星期二.
例5 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求适合此条件的最小数。
　　这是一道古算题.它早在《孙子算经》中记有：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”
　　关于这道题的解法，在明朝就流传着一首解题之歌：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知.”意思是，用除以3的余数乘以70，用除以5的余数乘以21，用除以7的余数乘以15，再把三个乘积相加.如果这三个数的和大于105，那么就减去105，直至小于105为止.这样就可以得到满足条件的解.其解法如下：
　　方法1：2×70+3×21+2×15=233
　　233-105×2=23
　　符合条件的最小自然数是23。
例5 的解答方法不仅就这一种，还可以这样解：
　　方法2：[3，7]+2=23
　　23除以5恰好余3。
　　所以，符合条件的最小自然数是23。
　　方法2的思路是什么呢？让我们再来看下面两道例题。
例6 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合条件的最小的自然数。
分析 “除以5余3”即“加2后被5整除”，同样“除以6余4”即“加2后被6整除”。
　　解：[5，6]-2=28，即28适合前两个条件。
　　想：28+[5，6]×？之后能满足“7除余1”的条件？
　　28+[5，6]×4=148，148=21×7+1，
　　又148＜210=[5，6，7]
　　所以，适合条件的最小的自然数是148。
例7 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，求符合条件的最小自然数。
　　解：想：2+3×？之后能满足“5除余3”的条件？
　　2+3×2=8。
　　再想：8+[3，5]×？之后能满足“7除余4”的条件？
　　8+[3，5]×3=53。
　　∴符合条件的最小的自然数是53。
　　归纳以上两例题的解法为：逐步满足条件法.当找到满足某个条件的数后，为了再满足另一个条件，需做数的调整，调整时注意要加上已满足条件中除数的倍数。
　　解这类题目还有其他方法，将会在有关“同余”部分讲到。
例8 一个布袋中装有小球若干个.如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个.布袋中至少有小球多少个？
　　解：2+[5，7]×1=37（个）
　　∵37除以3余1，除以5余2，除以7余2，
　　∴布袋中至少有小球37个。
例9 69、90和125被某个正整数N除时，余数相同，试求N的最大值。
分析 在解答此题之前，我们先来看下面的例子：
　　15除以2余1，19除以2余1，
　　即15和19被2除余数相同（余数都是1）。
　　但是19-15能被2整除.
　　由此我们可以得到这样的结论：如果两个整数a和b，均被自然数m除，余数相同，那么这两个整数之差（大-小）一定能被m整除。
　　反之，如果两个整数之差恰被m整除，那么这两个整数被m除的余数一定相同。
　　例9可做如下解答：
　　∵三个整数被N除余数相同，
　　∴N｜（90-69），即N｜21，N｜（125-90），即N｜35，
　　∴N是21和35的公约数。
　　∵要求N的最大值，
　　∴N是21和35的最大公约数。
　　∵21和35的最大公约数是7，
　　∴N最大是7。