数学难题之寇克曼问题

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　　这个问题最先由寇克曼(T.P.kirkman)于1850年提出，之后有许多数学家对这类问题加以探讨。
　　有一位女子学校的老师，她每天必须带领15名学生跑步。学生们总是排成5列纵队，每列有3个人并排。老师在总结了多年的经验后，设计出了一种排列方式，使得在一星期中，每个女孩都不会跟相同的人排在同一列中。请问该老师是如何安排的？
　　在解这个问题前先试着解答另一道类似的问题。有9个男孩排成3列纵队，每列有3个人。在4天中，同1列中的3个男孩的组合皆不相同。
解答与分析
　　第1天 第2天 第3天 第4天
　　195 296 397 498
　　278 381 412 523
　　346 457 568 671
　　上面所列者为9个男孩问题的解，并附有几何表示法作为参考(图1)。9放在圆的中央，然后l、2、……8对称放在圆周上。两个三角形及一条通过圆心的直线将9个数字分成各含3个数字的3组。这组数字对应于第2天的解。

　
　　然后将三角形和直径以圆心为中心顺时针旋转45°，产生各含3个数字的3组解。如此依序绕着圆心转动4次，即可产生4组完全不同的解。显然改变图中各数字的排序就可以很容易地找出其他组解。
　　寇克曼的学校女孩问题比这个问题更复杂。但其中的一组解可用一个圆及数个三角形表示出来，如图2。在此图中只需重复转动三角形7次就能得到每天的排序。
　　图中所示三角形的位置所对应的排序为：
　　(1，15，8)，(2，5，13)，(3，7，12)，(4，6，14)，(9，10， 11)
　　在接下来的各天，则保留 15不动，再将所有的数目加 2得到其余的数字，但必须令 14＋2= 2， 13＋2＝ 1。