五年级奥数题汇编22

小学教育网

　　22.小猴子数桃子
　　猴子妈妈采来了一篮桃子，她让小猴子数一数共采了多少桃子。小猴子3 个3 个地数，最后多出1 个，它就把多出的一个扔在一边；它又5 个5 个地数，到最后还是多出一个，它又把多出的1 个扔在一边；最后它7 个7 个地数，还是多出1 个。它数了三次，到底有多少桃子，还是不清楚。小朋友，你知道这篮子里至少有多少个桃子吗？
　　分析与解
　　本题可概括为“一个数用3 除余1，用5 除余2，用7 除余3，这个数最小是多少？”
　　我们从余数开始逆推：由于用3 除余1，所以这个数为3n+1（n 为正整数）。
　　要使3n+1 这个数继而满足用5 除余2 的条件，可用n=1，2，3……来试代，发现当n=2 时，3×2+1=7 满足条件。
　　由于15 能被3 和5 整除，所以15m+7 这些数（m 为正整数），也能满足用3 除余1，用5 除余2 这两个条件。
　　在15m+7 中选择适当的m，使之用7 除得到的余数为3.也是采取试代的方法，试代的结果得出：当m=3 时满足条件。
　　这样15×3+7= 52 为所求的答案，也就是说这篮桃子至少有52 个。
　　对于这类用3、5、7 三个数来除分别得到不同余数的题目，有没有一个解答的规律呢？有。我国有个著名的余数定理，它可以用四句诗来形象地记忆。
　　三人同行七十稀，五树梅花廿一支，七子团圆正半月，抛五去百便得知。
　　这四句诗叫“孙子点兵”歌，外国称它为“中国剩余定理”。这首诗的意思是：70 乘上用3 除所得的余数，21 乘上用5 除所得的余数，15 乘上用7除所得的余数，然后把这三个乘积加起来，其和加或减105 的整数倍，就可以得到所需要的数了。
　　现在我们回到本题，并运用上述办法求解。由于用3 除余1，用5 除余2，用7 除余3，所以，70×1+21×2+15×3 =70+42+45 =157因为要求的是最小值，所以157-105 =52