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[工程问题] 小学生趣味数学题七十六(末尾的0)

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发表于 2016-8-15 10:45:47 | 显示全部楼层 |阅读模式
  从1到10,连续10个整数相乘:
  1×2×3×4×5×6×7×8×9×10。
  连乘积的末尾有几个0?
  答案是两个0。其中,从因数10得到1个0,从因数2和5相乘又得到1个0,共计两个。
  刚好两个0?会不会再多几个呢?
  如果不相信,可以把乘积计算出来,结果得到
  原式=3628800。
  你看,乘积的末尾刚好两个0,想多1个也没有。
  那么,如果扩大规模,拉长队伍呢?譬如说,从1乘到20:
  1×2×3×4×…×19×20。
  这时乘积的末尾共有几个0呢?
  现在答案变成4个0。其中,从因数10得到1个0,从20得到1个0,从5和2相乘得到1个0,从15和4相乘又得到1个0,共计4个0。
  刚好4个0?会不会再多几个?
  请放心,多不了。要想在乘积末尾得到一个0,就要有一个质因数5和一个质因数2配对相乘。在乘积的质因数里,2多、5少。有一个质因数5,乘积末尾才有一个0。从1乘到20,只有5、10、15、20里面各有一个质因数5,乘积末尾只可能有4个0,再也多不出来了。
  把规模再扩大一点,从1乘到30:
  1×2×3×4×… ×29×30。
  现在乘积的末尾共有几个0?
  很明显,至少有6个0。
  你看,从1到30,这里面的5、10、15、20、25和30都是5的倍数。从它们每个数可以得到1个0;它们共有6个数,可以得到6个0。
  刚好6个0?会不会再多一些呢?
  能多不能多,全看质因数5的个数。25是5的平方,含有两个质因数5,这里多出1个5来。从1乘到30,虽然30个因数中只有6个是5的倍数,但是却含有7个质因数5。所以乘积的末尾共有7个0。
  乘到30的会做了,无论多大范围的也就会做了。
  例如,这次乘多一些,从1乘到100:
  1×2×3×4×… ×99×100。
  现在的乘积末尾共有多少个0?
  答案是24个。其中的道理就用不着说了。
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