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[TD]在解决有关几何图形的问题时，非常重要的思路就是发现整体与局部的关系。这一讲我们通过一组线段分割三角形的问题说明这一思路。
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[B]问题：[/B]如图1，D是任意一个三角形ABC的AB边上的中点，E是BC边上的中点。连接CD和AE两条线段，将三角形ABC分为了四个部分。如果假设三角形ABC的面积为1，那么这四个部分的面积分别是多少？
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显然要想直接孤立地求出每一个部分的面积是不可能的，必须把各个部分联系起来进行观察。
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ACD、CDB、ACE和AEB。由于三角形AEB和
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和AOD的面积相等。这时的关键问题在于建立四边形ODBE与这两个三
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角形之间的关系，我们可以连接OB画出一条辅助线，如图2：
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利用“等底等高的三角形面积相等”这一结论立刻知道三角形AOD和OBD面积相等，三角形OCE和OEB面积相等。又由于三角形OCE和AOD面积相等，所以AOD、OBD、OEB和OCE这四个三角形面积相等，而且
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分别为：
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四边形ODBE的面积为：
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进而就可以求出三角形ACO的面积为：
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至此四个部分的面积就都求出来了。
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通过解决这个问题可以发现，为了找到局部与整体之间的关系，往往需要先发现局部与局部之间的关系。另外，解题中我们用到了一个重要结论，就是“等底等高的三角形面积相等”，这个结论我们后面还要经常用到。我们还可以把这个结论稍微推广一点，就是“如果两个三角形的高相等，那么面积之间的比例关系与底边之间的比例关系是相同的”。
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[B]问题[/B] 如图3，D是任意一个三角形ABC的AB边上的中点，E和F两点将BC边平均分为三段。连接CD、AE和AF三条线段，将三角形ABC分为了六个部分。如果假设三角形ABC的面积为1，那么这六个部分的面积分别是多少？
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根据前面的结论不难发现，三角形AMD与MBD的面积相等，三角形CMF的面积是三角形MFB面积的2倍。如果设三角形AMD的面积为a，三角形FMB的面积为b，就有：
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解方程组就可以得到：
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而且还知道三角形ACM的面积为：
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三角形CMF的面积为：
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下面把三角形ACF看成一个整体，就与前面的第一题类似了，不同之处在于此时的M点并不是AF边上的中点，但是利用前面的结论可以知道AM
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用与前面同样的方法，连接辅助线OF，如图5：
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三角形OEF的面积为b，则三角形COE的面积也是b，我们又可以列出两个方程：
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从而三角形ACO的面积就是：
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通过以上问题的启发，我们发现其实整体与局部是相对的，一个“局部”有时需要把他看作“整体”。所谓复杂的问题，往往就是若干个简单问题复合而成的。根据前面问题的启发，我们还可以编出更为复杂的问题，并且去解决他。
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[B]问题[/B] 如图6，D、E分别是任意一个三角形ABC的AB边上的三等分点，G和F两点分别是BC边上的三等分点。连接CD、CE、AF和AG四条线段，将三角形ABC分为了九个部分。如果假设三角形ABC的面积为1，那么这九个部分的面积分别是多少？
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与前面方法类似，首先连接辅助线NB，如图7。
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假设三角形NEB的面积为a，三角形NBG的面积为b，则有三角形AEN的面积为2a，三角形CNG的面积为2b。而且可以列出下列方程组：
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从而三角形CAN的面积为：
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以下只需要把三角形ACG看作“整体”，连接辅助线MG，就可以继续重复上述过程，逐步求出每一部分的面积，答案如图8。
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请同学们不厌其烦地、独立地完成本题的全部解答。
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正当本文即将完稿时，由中国数学会普及工作委员会举办的“99我爱数学少年夏令营”在北京举行，其中“数学竞赛试卷”上第11题，也是本次竞赛得分较低的一道题，就属于本文论述的类型：
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[B]问题[/B] 在图9中，AE∶EC＝1∶2，CD∶DB＝1∶4，BF∶FA＝1∶3，△ABC的面积S＝1，那么四边形AFHG的面积SAFHG____。
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本题的关键显然是设法分别求出两个三角形BFH和AEG的面积，为了使问题得到简化，我们先去掉一条线段AD，图形变为如图10。
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然后添加辅助线AH，如图11。
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这时设三角形BFH的面积为a，则三角形AHF的面积为3a，三角形
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用同样方法去掉线段FC，并添加辅助线GC，如图12。
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事实上本题图中的七个部分的面积都可以求出来。本题中用到的通过去掉一条线段简化图形的方法，在后面关于四边形的讨论中还要用到。
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发表于 2016-8-15 10:44:02