六年级奥数知识  已知整体求局部

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[TR] [TD][/TD][/TR] [TR] [TD][/TD][/TR] [TR] [TD][/TD][/TR] [TR] [TD]在解决有关几何图形的问题时，非常重要的思路就是发现整体与局部的关系。这一讲我们通过一组线段分割三角形的问题说明这一思路。 [B]问题：[/B]如图1，D是任意一个三角形ABC的AB边上的中点，E是BC边上的中点。连接CD和AE两条线段，将三角形ABC分为了四个部分。如果假设三角形ABC的面积为1，那么这四个部分的面积分别是多少？ 132142_4c5b5f604d00654.jpg 　　显然要想直接孤立地求出每一个部分的面积是不可能的，必须把各个部分联系起来进行观察。 　　 132142_4c5b5f604dbbc54.jpg ACD、CDB、ACE和AEB。由于三角形AEB和 132142_4c5b5f604e77354.jpg 和AOD的面积相等。这时的关键问题在于建立四边形ODBE与这两个三 角形之间的关系，我们可以连接OB画出一条辅助线，如图2： 132142_4c5b5f604f32954.jpg 　　利用“等底等高的三角形面积相等”这一结论立刻知道三角形AOD和OBD面积相等，三角形OCE和OEB面积相等。又由于三角形OCE和AOD面积相等，所以AOD、OBD、OEB和OCE这四个三角形面积相等，而且 　　 132142_4c5b5f60502c754.jpg 分别为： 　　 132142_4c5b5f6050e7e54.jpg 　　四边形ODBE的面积为： 　　 132142_4c5b5f6051a3454.jpg 　　进而就可以求出三角形ACO的面积为： 　　 132142_4c5b5f60525ea54.jpg 　　至此四个部分的面积就都求出来了。 　　通过解决这个问题可以发现，为了找到局部与整体之间的关系，往往需要先发现局部与局部之间的关系。另外，解题中我们用到了一个重要结论，就是“等底等高的三角形面积相等”，这个结论我们后面还要经常用到。我们还可以把这个结论稍微推广一点，就是“如果两个三角形的高相等，那么面积之间的比例关系与底边之间的比例关系是相同的”。 [B]问题[/B] 如图3，D是任意一个三角形ABC的AB边上的中点，E和F两点将BC边平均分为三段。连接CD、AE和AF三条线段，将三角形ABC分为了六个部分。如果假设三角形ABC的面积为1，那么这六个部分的面积分别是多少？ 　 132142_4c5b5f60531a154.jpg 　　 132142_4c5b5f6053d5854.jpg 132142_4c5b5f605490e54.jpg 132142_4c5b5f60554cb54.jpg 　　根据前面的结论不难发现，三角形AMD与MBD的面积相等，三角形CMF的面积是三角形MFB面积的2倍。如果设三角形AMD的面积为a，三角形FMB的面积为b，就有： 　　 132142_4c5b5f605615654.jpg 　　解方程组就可以得到： 　　 132142_4c5b5f6056c3154.jpg 　　 132142_4c5b5f605903054.jpg 　　 132142_4c5b5f6059b0c54.jpg 　　而且还知道三角形ACM的面积为： 　　 132142_4c5b5f605a6c254.jpg 　　三角形CMF的面积为： 　　 132142_4c5b5f605b27854.jpg 　　下面把三角形ACF看成一个整体，就与前面的第一题类似了，不同之处在于此时的M点并不是AF边上的中点，但是利用前面的结论可以知道AM 132142_4c5b5f605be2f54.jpg 　　用与前面同样的方法，连接辅助线OF，如图5： 132142_4c5b5f605c9e554.jpg 　　 三角形OEF的面积为b，则三角形COE的面积也是b，我们又可以列出两个方程： 　　 　　 　　 　　 　　 　　 　　从而三角形ACO的面积就是： 　　 　　 　　通过以上问题的启发，我们发现其实整体与局部是相对的，一个“局部”有时需要把他看作“整体”。所谓复杂的问题，往往就是若干个简单问题复合而成的。根据前面问题的启发，我们还可以编出更为复杂的问题，并且去解决他。 [B]问题[/B] 如图6，D、E分别是任意一个三角形ABC的AB边上的三等分点，G和F两点分别是BC边上的三等分点。连接CD、CE、AF和AG四条线段，将三角形ABC分为了九个部分。如果假设三角形ABC的面积为1，那么这九个部分的面积分别是多少？ 　　与前面方法类似，首先连接辅助线NB，如图7。 　　假设三角形NEB的面积为a，三角形NBG的面积为b，则有三角形AEN的面积为2a，三角形CNG的面积为2b。而且可以列出下列方程组： 　　 　　 　　 　　 　　 　　从而三角形CAN的面积为： 　　 　　 　　 　　以下只需要把三角形ACG看作“整体”，连接辅助线MG，就可以继续重复上述过程，逐步求出每一部分的面积，答案如图8。 　　请同学们不厌其烦地、独立地完成本题的全部解答。 　　正当本文即将完稿时，由中国数学会普及工作委员会举办的“99我爱数学少年夏令营”在北京举行，其中“数学竞赛试卷”上第11题，也是本次竞赛得分较低的一道题，就属于本文论述的类型： [B]问题[/B] 在图9中，AE∶EC＝1∶2，CD∶DB＝1∶4，BF∶FA＝1∶3，△ABC的面积S＝1，那么四边形AFHG的面积SAFHG____。 　　本题的关键显然是设法分别求出两个三角形BFH和AEG的面积，为了使问题得到简化，我们先去掉一条线段AD，图形变为如图10。 　　然后添加辅助线AH，如图11。 　　这时设三角形BFH的面积为a，则三角形AHF的面积为3a，三角形 　　 　　 　　 　　用同样方法去掉线段FC，并添加辅助线GC，如图12。 　 　　 　　 　 　　事实上本题图中的七个部分的面积都可以求出来。本题中用到的通过去掉一条线段简化图形的方法，在后面关于四边形的讨论中还要用到。 [/TD][/TR] [/TD][/TR]