奥数知识总结：余数、同余与周期

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　　余数、同余与周期
       
                　　一、同余的定义：
       
                　　①若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。
       
                　　②已知三个整数a、b、m，如果m|a-b，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(modm)，读作a同余于b模m。
       
                　　二、同余的性质：
       
                　　①自身性：a≡a(modm)；
       
                　　②对称性：若a≡b(modm)，则b≡a(modm)；
       
                　　③传递性：若a≡b(modm)，b≡c(modm)，则a≡c(modm)；
       
                　　④和差性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a+c≡b+d(modm)，a-c≡b-d(modm)；
       
                　　⑤相乘性：若a≡b(modm)，c≡d(modm)，则a×c≡b×d(modm)；
       
                　　⑥乘方性：若a≡b(modm)，则an≡bn(modm)；
       
                　　⑦同倍性:若a≡b(modm)，整数c，则a×c≡b×c(modm×c)；
       
                　　三、关于乘方的预备知识：
       
                　　①若A=a×b，则MA=Ma×b=（Ma）b
       
                　　②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
       
                　　四、被3、9、11除后的余数特征：
       
                　　①一个自然数M，n表示M的各个数位上数字的和，则M≡n(mod9)或（mod3）；
       
                　　②一个自然数M，X表示M的各个奇数位上数字的和，Y表示M的各个偶数数位上数字的和，则M≡Y-X或M≡11-（X-Y）(mod11)；
       
                　　五、费尔马小定理：
       
                　　如果p是质数（素数），a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。