数学学习乐园之一百四十三（帕斯卡三角形）

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        　　这个三角形的数字阵列称为“帕斯卡三角形”，或是“杨辉三角”，以纪念法国数学家与哲学家帕斯卡(Pascal)，以及中国数学家杨辉．你对这个三角形可能并不陌生，但究竟了解多少呢？
        　　你能再给出下两行吗？
        　　求出每一行的数字和，并推测第十二行的数字和．在许多情况下都会产生类似的数字形式，以下即介绍其中的几种，你可以亲自做个研究．
        　　掷硬币
         
         

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        　　假设将一枚硬币掷4次，可能出现16种不同的组合方式，如上所示．其中第一栏为全是正面(H)，然后是3个正面、1个反面(T)，以此类推，直到没有正面出现为止．
        　　如此所形成的数列与帕斯卡三角形的第五行相同．请研究将铜板掷2次、3次与5次的情形．
        　　11的乘方
         
         

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        　　请问到了哪一个阶段才会脱离帕斯卡三角形的形式？为什么？
        　　六边形迷宫
        　　16只老鼠跑进如图所示的六边形迷宫中，到了叉路，一半走一条路，另一半走另一条路．
       

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        请问从p、q、r、s与t离开迷宫的老鼠各是多少只？将进入迷宫的老鼠增为32只，并再往下计算一步．
        　　纽约街道的最短路径
        　　纽约的街道形成如下所示的长方形网络．
       

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        　　由起点到A，最短的路径是走直线，而且没有其他相同长度的走法．
        　　可是由起点到B，共有6种不同的走法，向右需走两格，向下需走两格．图中已经表示出从起点到部分街道交点最短路径的数目，请将缺漏的补上．你能从中看出帕斯卡三角形的形式吗？
        　　彩色积木
         

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        　　找一些长度为1、2、3、4、5且不同颜色的积木块．上图所示为用积木堆出长度4的所有8种可能方式．
        　　用1块积木只有1种方式．
        　　用2块积木有3种方式．
        　　用3块积木也有3种方式．
        　　用4块积木只有1种方式．
        　　试考虑堆出长度5的各种方式．
        　　二项式
        　　(1+a)0=1
        　　(1+a)1=1+a
        　　(1+a)2=1+2a+a2
        　　(1+a)3=1+3a+3a2+a3
        　　(1+a)4=1+4a+6a2+4a3+a4
        　　展开(1+a)n的代数式，n为正整数，其中各项的系数必定与帕斯卡三角形中的数列相同．
         
        　　帕斯卡三角形中的数字集
        　　在帕斯卡三角形中沿着对角线，可以找到各种数字集．同时，对角线的数字和，也会等于下一条对角线中的下一个数字．例如：
        　　1+2+3+4+5=15
        　　1+3+6+10=20
        　　1+4+10=15
        　　将帕斯卡三角形略作变化，看看是否能发现其他有趣的数字形式．
       

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