动手学数学讨论与解答（26—30）

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　　26．一招三式
　　考虑第一个游戏．由1至9，总数为15的3个数的组合共有8种，也许你已经想到它与标准的3×3幻方的关系(图1)．
　　事实上，幻方中行、列与对角线的各组数字不但是所有可能的致胜组合，同时也显示出与圈叉(井字)游戏的关联(图2)．

　
　　每一种致胜的组合都可对应于圈又游戏中致胜的线，所以运用此种策略将使你在数字游戏中掌握更多的机会．玩圈叉游戏时，先玩的人通常会把记号画在中央的方格内，因为这个位置所控制的直线比其他任何位置都要多．
　　同样地，玩数字游戏时，先玩的人通常选5，因为致胜的机会较大．
　　利用这种与幻方的关联性，你也可以研究其他的数字组合问题．以下列出其中4种(图3～图6)，可参见《数学乐园·茅塞顿开》中的第142题．也可尝试一下负数！
　
　


　　你现在应该能从第二个游戏中看出个所以然了．
　　这些单词都是经过精挑细选的，以使其能配合3×3阵列，而在各行、列或对角线上的单词中，都包含着其他地方并不出现的共同字母．所以，单词的致胜组合同样对应至圈叉游戏中致胜的线．MEAT为关键词，且有4种赢的组合；位于角落的SARAH、BRED、EELS与BALL为次重要的词，各有3种致胜组合；其余4个词较不重要，只在2种组合中出现(见图7)．了解了这些，这个游戏就可以类似圈叉游戏的方式玩了．
　　这个游戏其实是由加拿大数学家莫瑟(Lee Moser)设计的，称为“HOT”，这是他在游戏中所用的一个词．
　
　


　　要求能力较强的一组儿童自行设计具有相同性质的9个单词，这是一个具有相当教育意义的题目．
　　不过也不一定要限于文字．一般，只需要8种足以区别的符号即可，每种符号对应于每一行、每一列，以及对角线．用如此9张卡片就可以设计出将这些符号置于方格中的形式，参见图8所示．

　
　　如果你颇具有艺术天份，那么这些符号也可以是某种图案．不过无论如何，这些游戏基本上都是一种圈叉游戏．
　　现在讨论第三种游戏．当你了解到车道的编号是从1到9，与第一个游戏相符时，这些车道编号就特别有用．考虑5号车道，将其着色，即可连接A、B、C与D4个城镇．仔细看地图，可以看出每个城镇都刚好有3条车道相交(或经过)，所以控制5号车道的人就能避免对手将这4个城镇中任何一个的3条车道着色．这就等于是在圈叉游戏中，在中央的方格内画上记号即阻挡了4条线的情形．同理，连接3个城镇的2、8、4及6号车道，相当于圈叉游戏中的4个角落，而1、3、7与9号车道只连接两个城镇，则相当于“井”字四边中间的方格．
　　圈叉游戏的“井”字与塞车游戏的地图之间的对偶性，可通过图9和图10做比较．图9相当于“井”字(每一个结点对应于各方格的中点)，因此共有8条线通过9点，而每一条线上有3点．图10则是塞车地图的拓扑图形，共有8点，位于9条线上，且每一点都有3条线通过．两个图形都做了精确的标示，以显示两者的对应关系．例如，s线上的A、D与G点即对应于通过S点的a、d与g线．
　　数学的本质就是要在看似完全不同的状况中探究潜在的结构而解析出相似的部分，因此分析这些游戏有助于培养数学的思考能力．

　　27．勾股定理再探

　　大部分的中学教师都熟知不只一种勾股定理的证明方法，但他们或许并不知道还有许多有趣又巧妙的方法与步骤．本题所介绍的方法当然不是所有的方法，但它们却都意味深长．
　　卢米斯(Elisha Scott Loomis)所著的《勾股定理证明》(ThePythagorean Proposition)一书在1927年出版，书中共提出250种证明方法，该书由英国全国教师协会于1968年再版．

　　28．马尔他十字机制

　　作者做的模型已流行多年，不难理解，模型愈大，愈容易制作．
　　在作者的模型中，圆盘D的直径大约为14cm，且机械装置被安装在硬板上．
　　在第15题中可以看到一些其他的机械装置．

　　29．旋转式泵的几何学

　　对许多小孩子而言，机械装置的研究比抽象的运动几何学更具体直观，但其实两者是互相关联的．

　　30．月历的排列

　　本题目可用来练习算术、图案识别与简单代数．
　　当总和为57时，所表示的日期为：

　　如果有5个日期在一列中，其正中央的数字为D，则这5个日期分别为
　　D－14，D－7，D， D＋7，D＋14
　　其总和为5D．所以只要把总和除以5，然后再加减7、加减14即可．
　　当总和为85时，D＝17，故对应于月历上的最后一列．
　　如果一列中的第一个数字是6，则第五个数字为6＋7＋7＋7＋7＝34，但一个月不可能有34天．
　　假设在一个含有4个日期的列中第一个数字为F，则这4个日期分别为：
　　F，F＋7，F＋14，F＋21
　　故其总和为：
T＝4F＋42
　　所以只要先将总和减去42，然后除以4，就可得到F，再将F分别加上7、14、21，即可得出其余的日期．

　
　　十字形与H形的日期形式为：

　
　　这两个图形内的日期总和分别为5C与7C，所以若已给定日期总和，很容易就能得出C，然后再推算出其他的日期．

　
　　所以此方阵对角线上数字的乘积分别为：
　　D(D＋8)=D2＋8D，(D＋7)(D＋1)＝D2＋8D＋7
　　很显然，两者之间的差为7．此种结论可通过适当的活动设计，让孩子自己去发现．
　　在3×3方阵中，对角线的数字和、中间行与中间列的数字和皆为3C，其中C为正中央的数字．此方阵并非幻方，因为其他行、列的和各不相同，它们是：
　　3C－21，3C－3，3C＋3，3C＋21