动手学数学之二十七（勾股定理再探）

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　　勾股定理证明方法之一的培利加剖分( Perigal’s dissection)在《数学乐园·茅塞顿开》中已经描述过，但因为勾股定理是相当重要的定理，故在此再特别举出一些可行的证明方法，供读者做比较．
　　下面列举的前3个方法非常类似，而且都需要利用到4个全等的直角三角形．请将它们从卡片中剪下，并且实际练习看看．
　　(1)如图1所示，将4个三角形排成边长为a＋b的正方形4BCD，使中间留下边长c的一个正方形洞(阴影部分)．

　
　　画出正方形ABCD．现在移动三角形至图2所示的位置中，于是留下了边长分别为a与b的两个正方形洞．这么一来，图1和图2中的阴影部分面积必定相等，所以
c2=a2+b2
　　(2)此证明以图1为基础：
　　正方形ABCD的面积=阴影部分正方形的面积+4个三角形的面积
　　

　　得出 a2+b2=c2
　　(3)这次将4个直角三角形的直角部分朝内放，排成一个边长为c的正方形PQRS(见图3)，中间的洞(阴影部分)则是边长为b－a的正方形．

　
正方形PQRS的面积=阴影部分正方形的面积+4个三角形的面积
　　

　　得出 c2=a2+b2
　　(4)此证明于1860年首次发表，同样也是着眼于使面积相等的概念．这题与上述的第一、第二个方法有颇多类似之处．
　　正方形ABNL的面积
　　=正方形KCOM的面积－4个三角形的面积
　　=正方形DFHI的面积－4个三角形的面积
　　=正方形DFHI的面积－长方形ACBI的面积－长方形CEFC的面积
　　=正方形ADEC的面积+正方形BCGH的面积故可得
c2=b2+a2

　
　　(5)介绍了许多几何变换的方法后，这里要以有趣的切变换(shearing transformation)为基础来证明勾股定理．参见图 5．

　
　　将以BC为边的正方形斜切至右方，并将以AC为边的正方形向上切至与直线CD相连．(要记住，切变换使面积保持不变．)然后再将图形沿直线DC切换，直到图形抵达直线AB为止，这时图形变成正方形ABEF．
　　以AB为边的正方形面积=以BC为边的正方形面积+以AC为边的正方形面积
　　所以 c2=a2+b2
　　(6)此证明有时会利用相似三角形来解释，但参考图6用三角函数来证明会更容易些．

　
　
AB=AN+NB
c=b cosθ+a cosφ

　
　　

　
　　将上式等号两边同时乘以c，则得
c2=b2+a2
　　(7)勾股定理最令人满意的证明之一就是用向量来证明，参见图7所示．
　　c2=c·c=(a+b)·(a+b)=a·a+2a·b+b·b=a2+b2
　　因为 a⊥b
　　所以a·b=0