动手学数学之七（巨石数学）

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　　多年来，科学家与考古学家对于在西欧许多地区发现的由石块围成的圆圈非常感兴趣．其中英国的巨石柱群(Stonehenge)是最典型的例子，其石块位置与太阳位置之间的关联使得有人将巨石柱群描绘成一部天文电脑．不过，在这里我们主要是要探讨被称为“圆圈”的基本形状．巨石柱群非常近似于圆形，两者之间并无多大差异，但是工程学家陶姆(Thom)教授在调查过数百个石柱遗迹后发现，许多石柱围成的圆圈事实上并不圆，而是以直角三角形为基础精心构造出的曲线．
        　　陶姆所发现的一种形状类似于图1所示的蛋形．要画这个形状，可先画出边长为3、4、5的直角三角形ABC，以及其在AB边的镜像，三角形ABC′．然后以A为圆心，画出半径为AB(4单位长)的半圆，以及半圆的直径XX′．以C′为圆心，C′X(7单位长)为半径，画出弧XY；并以C为圆心，以相同的半径画出弧X′Y′．再以B为圆心，BY(2单位长)为半径画出弧YY′，而完成此蛋形．在英国西罗申(West Lothian)的肯帕普山(Cairnpapple Hill)，以及印威内斯(Inverness)的克拉瓦(Clava)等地都可以找到排成这种形状的巨石柱遗迹．可以从任何直角三角形开始画，同时用这种方法也可以画出较圆或较尖的蛋形．请试着画画看．
       

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        　　在英国的德文(Devon)和康瓦尔(Cornwall)则发现了一种不同的石块排列方式，虽然其边的一部分为直线，但我们还是称之为蛋形，参见图2．此种形状同样也是以两个全等的直角三角形为基础，但这次却是以斜边BC互成镜像．在画出三角形ABC与A′BC后，先以C为圆心，CB为半径(5单位长)画主要的弧XX′；再画平行于AB的XY及平行于A′B的X′Y′；最后以B为圆心，BY为半径，画出小弧YY′．
       

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        　　陶姆还发现了另外两种形状，他称之为扁圆形．虽然此种曲线同样是由圆形的弧所组成，但其“扁”的部分却相当接近椭圆．第一种扁圆形如图3所示，其中XX′以下的曲线部分是以A为圆心的一个半圆．然后在XX′上取C与C′，使AC与AC′为此半圆半径的1/3，AB为此半圆与整个形状的对称线．再以C为圆心，CX为半径(2单位长)画弧XY，以C′为圆心，同样的半径画弧X′Y′．最后以B为圆心，BY为半径画出弧YY′．在英国达特茅(Dartmoor)郊外的麦立维尔(Merrivale)和坎姆里亚(Cumbria)的“朗美格与其女”(Long Meg and her daughter)可以找到排成此种形状的石块．
       

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        　　第二种扁圆形如图4所示．首先以A为圆心，由X经过B到X′画出2/3个圆．AB为此大扇形的对称线，C与C′则是半径AX与AX′的中点．然后以C为圆心，CX(1单位长)为半径画弧XY；再以C′为圆心，同样的半径画弧X′Y′．最后以B为圆心，BY为半径画弧YY′，即完成此图形．在英国凯斯维克(Keswick)的里格堡(Castle Rigg)可以找到这种形状，此外在坎姆里亚与苏格兰也可以找到．
         
         
       

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        　　所有的这些形状都具有一个有趣的性质，那就是即使它们是以不同的圆心与不同的半径建构而成的，但其中不同的弧相接的地方都有公共的切线，所以曲线的方向并不会突然地改变．
        　　如果你有机会去这些地方，可以试着做精确的测量，看看它们是否是我们讨论过的形状．请探讨一下周长与面积的变化．