四年级奥数天天练及答案5.9（计数问题）

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　　题型：计数问题   难度：★★
        　　如果一个大于9的整数，其每个数位上的数字都比它右边数位上的数字小，那么我们称它为"迎春数"．那么，小于2008的"迎春数"共有　　　　个。
       
         
         
         
        　
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        【答案解析】 　　   
        　　这是一道组合计数问题．
       
        　　方法一：枚举法――按位数分类计算．
       
        　　一、两位数中，"迎春数"个数
       
        　　（1）十位数字是1，这样的"迎春数"有12，13，…，19，共8个；
       
        　　（2）十位数字是2，这样的"迎春数"有23，…，29，共7个；
       
        　　（3）十位数字是3，这样的"迎春数"有34，…，39，共6个；
       
        　　（4）十位数字是4，这样的"迎春数"有45，…，49，共5个；
       
        　　（5）十位数字是5，这样的"迎春数"有56，…，59，共4个；
       
        　　（6）十位数字是6，这样的"迎春数"有67，68，69，共3个；
       
        　　（7）十位数字是7，这样的"迎春数"有78，79，共2个；
       
        　　（8）十位数字是8，这样的"迎春数"只有89这1个；
       
        　　（9）没有十位数字是9的两位的"迎春数"；
       
        　　所以两位数中，"迎春数"共有36个．
       
        　　二、三位数中，"迎春数"个数
       
        　　（1）百位数字是1，这样的"迎春数"有123-129，134-139，…，189，共28个；
       
        　　（2）百位数字是2，这样的"迎春数"有234-239，…，289，共21个；
       
        　　（3）百位数字是3，这样的"迎春数"有345-349，…，389，共15个；
       
        　　（4）百位数字是4，这样的"迎春数"有456-459，…，489，共10个；
       
        　　（5）百位数字是5，这样的"迎春数"有567-569，…，589，共6个；
       
        　　（6）百位数字是6，这样的"迎春数"有678，679，689，共3个；
       
        　　（7）百位数字是7，这样的"迎春数"只有789，这1个；
       
        　　（8）没有百位数字是8，9的三位的"迎春数"；
       
        　　所以三位数中，"迎春数"共有84个．
       
        　　三、1000-1999的自然数中，"迎春数"个数
       
        　　（1）前两位数字是12，这样的"迎春数"有1234-1239，…，1289，共21个
       
        　　（2）前两位数字是13，这样的"迎春数"有1345-1349，…，1389，共15个；
       
        　　（3）前两位数字是14，这样的"迎春数"有1456-1459，…，1489，共10个；
       
        　　（4）前两位数字是15，这样的"迎春数"有1567-1569，…，1589，共6个；
       
        　　（5）前两位数字是16，这样的"迎春数"有1678，1679，1689，共3个；
       
        　　（6）前两位数字是17，这样的"迎春数"只有1789这1个；
       
        　　（7）没有前两位数字是18，19的四位的"迎春数"；
       
        　　所以四位数中，"迎春数"共有56个．
       
        　　四、2000-2008的自然数中，没有"迎春数"
       
        　　所以小于2008的自然数中，"迎春数"共有36+84+56=176 个．
       
        　　方法二：利用组合原理?
       
        　　小于2008的"迎春数"，只可能是两位数、三位数和1000多的数．
       
        　　计算两位 "迎春数"的个数，它就等于从1-9这9个数字中任意取出2个不同的数字，
       
        　　每一种取法对应于一个"迎春数"，即有多少种取法就有多少个"迎春数"．显然不同的取
       
        　　法有9×8÷2=36 中，所以两位的"迎春数"共有36个．
       
        　　同样计算三位数和1000多的数中"迎春数"的个数，它们分别有 9×8×7÷3÷2÷1=84个和8×7×6÷3÷2÷1=56 个．
       
        　　所以小于2008的自然数中，"迎春数"共有36+84+56=176 个。