六年级奥数天天练及答案3.30（数论问题）

小学教育网 · 发表于 2016-8-14 21:29:03

　　奥数天天练栏目每日精选中等、高等难度试题各一道。中难度试题适合一些有过思维基础训练、考题学习经历，并且奥数成绩中上的学生。高难度试题立足于杯赛真题、综合应用和加深各知识点，适合一些志在竞赛中夺取佳绩的学生。

　　本周试题由学而思教研部《小学奥数系统总复习》精选、解析，以保证试题质量。

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　　【数论问题】

　1．难度：★★★★

　　一个房间中有100盏灯，用自然数1，2，…，100编号，每盏灯各有一个开关。开始时，所有的灯都不亮。有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开。问：第100个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着？



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jzsix · 发表于 2016-8-14 23:07:10

　　【答案】
　　对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么，当它的开关被按奇数次时，灯是开着的；当它的开关被按偶数次时，灯是关着的；根据题意可知，当第100个人离开房间后，一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯的编号的因数的个数；要求哪些灯还亮着，就是问哪些灯的编号的因数有奇数个。显然完全平方数有奇数个因数。所以平方数编号的灯是亮着的。而1□100内的完全平方数有1 ²□10 ²，所以当第100个人离开房间后，房间里还亮着的灯的编号是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100。

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