[答案]六年级2011.5.24奥数天天练

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　　·每道题的答题时间不应超过15分钟。答案明日公布！
         
        　　难度：★★★★
        　　小学六年级奥数天天练：计数
        　　一个长方形把平面分成两部分，那么3个长方形最多把平面分成多少部分?
        　　【答案】
        　　解答：一个长方形把平面分成两部分．第二个长方形的每一条边至多把第一个长方形的内部分成2部分，这样第一个长方形的内部至多被第二个长方形分成五部分．
        　　同理，第二个长方形的内部至少被第一个长方形分成五部分．这两个长方形有公共部分(如下图，标有数字9的部分)．还有一个区域位于两个长方形外面，所以两个长方形至多把平面分成10部分．
        　　第三个长方形的每一条边至多与前两个长方形中的每一个的两条边相交，故第一条边被隔成五条小线段，其中间的三条小线段中的每一条线段都把前两个长方形内部的某一部分一分为二，所以至多增加3×4=12个部分．而第三个长方形的4个顶点都在前两个长方形的外面，至多能增加4个部分．
        　　所以三个长方形最多能将平面分成10+12+4=26．
       

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        　　难度：★★★★★
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        　　一个圆上有12个点A1，A2，A3，…，A11，A12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?
        　　【答案】
        　　解答：我们采用递推的方法．
        　　I如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．
       

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        　　Ⅱ如果圆上有6个点，除A1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法．
        　　Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：
        　　①A1所在三角形的一个边所对的弧上；
        　　②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．
        　　在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．
        　　如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；
        　　如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．
       

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        　　共有12种连法。
        　　Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：
        　　①9个点都在同一段弧上：
        　　②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；
        　　③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．
       

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        　　共有12×3+3×6+1＝55种。
        　　所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种。