小学数学解题常见错误分析：复合应用题

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                                　　2．复合应用题
　　复合应用题就是要用两步或两步以上的运算才能解答的应用题。因此，每个复合应用题一般都由两个或两个以上有联系的简单应用题复合而成。复合应用题中需要用特殊的思路与方法进行解答的，这类题称为典型应用题。复合应用题由于数量关系复杂，解题时应特别注意遵循以下步骤：
　　第一步：审题。了解题中的内容，理解题意，找出题中的已知条件和要求的问题。
　　第二步：分析。重点分析题中的数量关系，即已知数与已知数的关系，已知数和未知数的关系，从而找出解题的途径与方法。
　　第三步：列式。确定解题步骤与方法，先算什么，再算什么，……最后算什么，并列出分步式或者综合式，进行计算得出答案。
　　第四步：验算。通过验算最后确定答案正确与否。
　　第五步：答题。写出题目中所要求的答案。
　　在以上的步骤中，审题是基础，分析是关键。只有认真审题，正确分析，才能找到正确的解题思路，列出正确的算式进行解答。验算往往在解题时容易忽略，其实这一步是非常重要的，有的学生解答完一道题后，自己不知道是否正确，没有把握，这就是没有进行“验算”训练的表现。作答一般来讲是容易的事，正因为如此，在作答时往往出现张冠李戴的错误。
　　例 1 胜利机械厂1995年的产值是65万元，1997年的产值比1995年增长了3倍。1997年的产值是多少万元？
　　[解]65+65×3
　　=65+195
　　=260（万元）。
　　或者65×（3+1）
　　=65×4
　　=260（万元）。
　　答：1997年的产值是260万元。
　　[常见错误]
　　65×3=195（万元）。
　　答：1997年的产值是195万元。
　　例 2 果园乡去年收桔子40万箱，今年收桔子120万箱。今年的桔子产量比去年增加了几倍？
　　[解]（120-40）÷40=80÷40
　　=2。
　　答：今年的桔子产量比去年增加2倍。
　　[常见错误]
　　120÷40=3（倍）。
　　答：今年桔子产量比去年增加了3倍。
　　[分析]
　　以上两例的错误，主要是由于学生对“倍数”关系理解不清而造成的。例1误把“增长了3倍”与“求一个数的3倍是多少”等同起来，不知道1997年的产值比1995年增长3倍以后，是 1995年产值的4倍，因此产生了错误；例2对“今年的桔子产量比去年增加了几倍”理解不清，把它与“今年的产量是去年的几倍”等同起来，所以产生了错误，列式中由于“倍”不是计量单位，因此最后在“倍”字上加括号作为计量单位，也是错误的。
　　应用题中所讲的“倍数”一般是由两个数量相比较而得出来的。例如“桃树的棵数是梨树的3倍”，是桃树棵数与梨树棵数相比较而得来的；“1997年的产值比1995年增长了3倍”，即 1997年的产值比1995年产值增长的数与1995年产值相比得出的3倍，因此，在解题时，若遇到“倍数”问题，一定要弄清它是由哪两个数量比较而得来的。
　　解倍数应用题，准确地找到“1倍数”，这是解题的关键。倍数应用题中有个谁与谁比的问题，那个被比的数就是“1倍数”，如例1中1995年的产值是“1倍数”。
　　为了使学生正确地解答这类问题，培养学生用图示法解题是很重要的。例如桃树有150棵，是梨树棵数的3倍，梨树有多少棵？学生如能画出下面的图，则解题就容易得多了。

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　　从图中很清楚地可以看出，桃树的棵数是梨树棵数的3倍，求梨树的棵数，就是把桃树的棵数平均分成3份，取其中的1份，如例1，学生能画出下面的图，解答也就不困难了。从图中可以看出，1997年的产值相当于1995年产值的4倍。例2结合题目的分析可绘出如下的示意图。从图中可以看出，要求今年桔子产量比去年增长几倍，必须先求出今年
　　的桔子比去年增长了多少万箱，再看增长的箱数是去年产量的几倍，就是增长几倍。

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　例 3 狐狸在奔跑时最高速度可达每分钟750米。照这样计算，1小时可跑多少千米？
　　[解]750×60÷1000
　　=45000÷1000
　　=45（千米）。
　　或者：750÷1000×60
　　=0.75×60
　　=45（千米）。
　　答：狐狸最高速度1小时可跑45千米。
　　[常见错误]
　　750÷1000=0.75（千米）。
　　答：狐狸最高速度1小时可跑0.75千米。
　　例 4 一个餐厅长12米，宽10米，用边长为2分米的正方形瓷砖铺地，需要这种瓷砖多少块？
　　[解]12×10÷（0.2×0.2）
　　=120÷0.04
　　=3000（块）。
　　或者 120×100÷（2×2）
　　=12000÷4
　　=3000（块）。
　　答：需要瓷砖3000块。
　　[常见错误]
　　12×10÷（2×2）
　　=120÷4
　　=30（块）。答：需要瓷砖30块。
　　[分析]
　　以上两例的错误，一方面是学生对题意不理解，另一方面就是计量单位的选用对解题产生了较大的干扰，而导致了错误，如例3中只有一个数量750米供学生解题时思考，他们在思考时各种计量单位的化聚同时出现在脑海里，无所适从，因此，就选择了750÷1000的错误方法。
　　要防止出现类似错误，必须透彻地理解每一步解题的算理。如例3分析时可画出下面的方框图。
　　从图中可以看出，1分钟跑750米，1小时跑多少千米？跑的时间由1分钟变成了1小时（60分钟），即扩大了60倍，那么，跑的距离也应该扩大60倍，即750×60。而题中要求的是多少千米，因此再算一步得750×60÷1000。
　　例 4 有两种解答方法，第一种是先统一用“米”作长度单位，这样，面积就都以“平方米”作单位。第二种是先统一用“分米”作长度单位，这样，面积就以“平方分米”作单位。只有单位统一后，才能求出正确的答案。
　　例 5100千克蓖麻籽可以榨油45千克，1千克蓖麻籽可以榨多少千克蓖麻油？
　　[解]45÷100=0.45（千克）。
　　答：1千克蓖麻籽可以榨0.45千克油。
　　[常见错误]
　　100÷0.45≈2.22（千克）。
　　答：1千克蓖麻籽可以榨2.22千克油。
　　例 6 用0.5度电可以生产化肥0.4千克。照这样计算，生产1千克化肥需要多少度电？
　　[解]0.5÷0.4=1.25（度）。
　　答：生产1千克化肥要1.25度电。
　　[常见错误]
　　0.4÷0.5=0.8（度）。
　　答：生产1千克化肥要0.8度电。
　　[分析]
　　学生解以上两题出现错误的原因有两个方面。第一是他们不熟悉题中的事情，没有这方面的感性知识；第二是在学习整数时，除法运算都是较大数除以较小数，而到了学习小数时，较小的数也可以作为被除数，因此，他们对确定被除数与除数，还不能从算理上进行分析，要么凭经验用较大数作被除数（例5），要么瞎猜乱碰（例6）。为了防止上述错误的发生，首先要分析算理，如例5，45千克蓖麻油是从100千克蓖麻籽中榨出来的，要求每千克蓖麻籽能榨油多少千克，应该把45千克油平均分成100份，每份就是1千克蓖麻籽榨出的油的千克数，所以用45÷100而不是100÷45。其次，要让学生弄明白蓖麻籽榨成油后，分成了两部分，一部分是蓖麻油，另一部分是蓖麻饼。题中要求1千克蓖麻籽榨多少千克蓖麻油，这个结果一定是小于1千克。学生若明白了这个事理，就不会错成1千克蓖麻籽榨出2.22千克油来。为了防止出现这类问题的错误，可有针对性地解答以下问题：
　　①小明跑100米用了20秒钟。
　　a．平均每跑1米用了多少时间？
　　b．平均每秒跑了多少米？
　　②某煤矿每采420千克煤需用电4度。
　　a．平均每度电可采煤多少千克？
　　b．平均每采1千克煤需用电多少度？
　　例 7 张村今年植树1480棵，比李村植树的棵数少245棵。今年两村共
　　植树多少棵？
　　[解]1480+（1480+245）
　　=1480+1725
　　=3205（棵）。
　　答：今年两村共植树3205棵。[常见错误]
　　1480+245=1725（棵）。
　　答：今年两村共植树1725棵。
　　例 8 洪江路小学参加科技小组的同学有120人，比参加数学小组人数的
　　2倍多20人。参加两个小组的同学共有多少人？
　　[解]120+（120-20）÷2
　　=120+100÷2
　　=120+50
　　=170（人）。
　　答：参加两个小组的同学共有170人。
　　[常见错误]
　　（1）120×2-20
　　=240-20
　　=220（人）。
　　答：参加两个小组的同学共有220人。
　　（2）120×2+20
　　=240+20
　　=260（人）。
　　答：参加两个小组的同学共有260人。
　　[分析]
　　以上两例有一个共同的特点，就是题中的一个已知条件在解题时要重复运用一次。因此，学生解这类问题时极易发生错误。如例7“今年植树1480棵”这一已知条件要运用两次才能解答此题，而学生往往错误地认为将1480加上245就是两年植树的棵数，从而发生了错误。例8中“参加科技小组的同学有120人”这个已知条件解题时也要重复用两次，而学生解题时容易理解成“参加科技小组人数的2倍多20人”就是两个小组的人数，因而发生了解题错误。
　　为了防止发生上述错误，可用填图的方法进行思考，如例7填图法的解题思路是这样的：

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　　通过以上的步骤进行填图，就明白了要求两村一共植树多少棵，一定要知道张村与李村各植树多少棵。这样，就不会发生遗漏已知条件的解题错误。其次是通过画图来理解数量关系。如例8可画出下图：

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　　从图中形象地看出，其中数学组的人数不知道，如果从科技组的人数中去掉20名，则正好是数学组人数的2倍，从而求出数学组的人数，进一步求出两组共有的人数。
　　以上两例中的一个已知条件解题时只重复使用两次，有的题已知条件要重复使用多次。
　　例如：
　　某运输队第一天运了64.5吨煤，第二天比第一天少运了18吨，第三天运的吨数是第一天的3倍。三天一共运多少吨？
　　这道题的解法是：
　　64.5+（64.5-18）+64.5×3
　　=64.5+46.5+193.5
　　=111+193.5
　　=304.5（吨）。
　　答：三天共运煤304.5吨。
　　例 9 蔬菜公司运进一批南瓜和辣椒，南瓜比辣椒多560千克，南瓜50筐，每筐40千克，辣椒40筐，每筐多少千克？
　　[解]（40×50-560）÷40
　　=（2000-560）÷40
　　=1440÷40
　　=36（千克）。
　　答：辣椒每筐36千克。
　　[常见错误]
　　40×50-560÷40
　　=2000-560÷40
　　=1440÷40
　　=36（千克）。
　　答：辣椒每筐36千克。
　　[分析]
　　例 9 的错误是没有使用括号，此题尽管解题的思路是正确的，但由于没有使用括号而导致综合算式的错误。另外，在应用题解答中添加多余的括号的现象也很普遍。产生上述错误的原因是没有理解使用括号的作用，以及不知道如何使用括号。纠正的办法也应该从这两方面着手。第一通过实际例子认识到括号的作用是改变运算顺序。例如计算并说明下面每组算式的结果为什么不同。

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　　通过以上的练习，学生认识到，在一个算式中，由于使用了括号，就改变了原来的运算顺序，计算出的结果就不同。其次是弄清怎样正确使用括号。
　　列综合算式解应用题是学生学习的难点，而正确地使用括号又是小学生列综合算式的难点。为了突破这个难点，一般可分下面两个阶段进行训练。
　　第一阶段：分步列式解答应用题。
　　第二阶段：将分步式改写成综合算式。
　　如例9，分步列式应该为：
　　40×50=2000（千克）………南瓜的总重量
　　2000-560=1440（千克）……辣椒的总重量
　　1440÷40=36（千克）………辣椒每筐的重量
　　我们知道，混合运算的顺序是先算括号里面的再算括号外面的。有括号是先算小括号，再算中括号，最后算大括号里面的。先把第一步算式用小括号括起来（不算出结果），即（40×50），再把第二步算式用中括号括起来，即[（40×50）-560]，最后除以40的运算显然可以放在中括号之外了，这样得到综合算式如下：
　　[（40×50）-560）÷40。
　　由于中括号里面的运算应该是先乘除后加减，因此小括号是多余的，去掉里面小括号，将外面中括号改为小括号，即得例9的综合算式为：
　　（40×50-560）÷40。
　　例 10一个工厂3小时加工零件96个。照这样计算，再工作5小时，一共加工零件多少个？（用两种方法解答）
　　解法1：96+96÷3×5
　　=96+32×5
　　=96+160
　　=256（个）。
　　解法2：设再工作5小时，一共加工零件x个。
　　x÷（5+3）=96÷3，x÷8=32，
　　x=256。
　　答：再工作5小时，一共加工零件256个。
　　[常见错误]
　　解法1：
　　（1）平均每小时加工多少个：
　　96÷3=32（个）。
　　（2）这个工人还要工作5小时，加工零件多少个？
　　32×5=160（个）。
　　（3）他一共加工零件多少个？
　　96+160=256（个）。
　　解法2：96+96÷3×5
　　=96+32×5
　　=96+160
　　=256（个）。
　　答：再工作5小时，一共加工零件256个。
　　例 11食堂有煤12吨，前 5天烧了3吨，照这样计算，剩下的煤可以多少天？（用两种方法解答）
　　解法1：（12-3）÷（3÷5）
　　=9÷0.6
　　=15（天）。
　　解法2：设剩下的煤可以烧x天

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　　3x=60-15，
　　x=45÷3，
　　x=15。
　　答：剩下的煤可以烧15天。
　　[常见错误]
　　解法1：设剩下的煤可以烧x天。
　　（12-3）÷x=3÷5，
　　9÷x=0.6，
　　x=9÷0.6，
　　x=15。
　　解法2：设剩下的煤可以烧x天。3÷5=（12-3）÷x，
　　0.6=9÷x，
　　x=9÷0.6，
　　x=15。
　　答：剩下的煤可以烧15天。
　　[分析]
　　例 10解答都没有错，只是把解题思路相同的分步列式解答与综合列式解答作为两种解法，例 11的两种解法都是用同一方程解应用题，不同的只是等式两边互换了一下位置，这实际上也是一种解法。出现这种情况的原因是不理解“两种解法”的含义，不知道所谓“两种解法”就是用两种不同的思路去解题，而不是形式上的不同，不同的思路去解题，必然列出的算式的算理不同，当然一般而言算术解法与代数解法（即列方程）属于不同解法。要真正理解不同解法的实质，应分析比较不同的算术解法的算理。
　　例如：王师傅装配一台机器，原来要用2.2小时，革新技术后，现在装配一台机器比原来缩短0.2小时，问原来装配60台机器所需的时间，现在可以装配多少台？
　　解法1：2.2×60÷（2.2-0.2）
　　=132÷2
　　=66（台）。
　　解法2：60+0.2×60÷（2.2-0.2）
　　=60+12÷2
　　=60+6
　　=66（台）。
　　解法1与解法2的列式不同，显然算理也不同。
　　解法1：原来装60台所需的时间÷现在装配一台用的时间=现在可以装配多少台。
　　解法2：原来装的60台+节省时间后可以多装的台数=现在可以装配多少台。
　　当然本题还可以用列方程的方法求解，应用题多种解法的目的在于开拓解题思路，如果能够用不同的方法题解，就应该选择一种最简便的方法。
　　例 12良丰农场收割小麦，计划每天收割86公顷，需18天完成任务，根据小麦成熟情况，必须提前6天完成收割任务，这样每天应收小麦多少公顷？
　　[解] 86×18÷（18-6）
　　=1548÷12
　　=129（公顷）。答：提前6天完成任务，每天应收割129公顷。
　　[常见错误]
　　86×18÷6
　　=1548÷6
　　=258（公顷）。
　　答：提前6天完成任务，每天应收割258公顷。
　　例 13云丽小学要做400套校服，原来按每套2.4米买回一批布料，实际采用新裁剪方法做，平均每套节约0.4米布，这批布料实际可做多少套校服？
　　[解]2.4×400÷（2.4-0.4）
　　=960÷2
　　=480（套）。
　　或 400+0.4×400÷（2.4-0.4）
　　=400+160÷2
　　=400+80
　　=480（套）。
　　答：这批布料可以做校服480套。
　　[常见错误]
　　（1）（2.4-0.4）×400÷2.4
　　=2×400÷2.4
　　=800÷2.4
　　≈333（套）。
　　答：这批布料可以做校服333套。
　　（2）400+0.4×400÷2.4
　　=400+160÷2.4
　　≈400+67
　　=467（套）。
　　答：这批布料可以做校服467套。
　　[分析]
　　例 12的错误是将“提前6天完成收割任务”当成了“6天完成收割任务”，因此列式错误。下面重点分析例13的两种解法的错误。错解（1）中的2.4-0.4，即每套校服节约用布后需用布多少米，（2.4-0.5）×400即节约用布后，做400套校服总共用布多少米。那么算式（2.4-0.4）×400÷2.4表示的是什么呢？它表示的是节约用布后做400套校服的用布，按原来的方法裁剪可做多少套校服，这显然不是题目所问的；错解（2）中的0.4×400，即400套总共可以节约的用布，0.4×400÷2.4即400套总共节约的用布，按原来的方法裁剪可以做多少套校服，再加上400套，显然不是题目所问的了。如果把400套总共节约的用布，按现在的方法裁剪可以做多少套计算出来后，再加上400套，这又是题目所问的了，这也就是上面正确解答中的解法二。
　　防止因数量关系分析不清而产生解题错误的主要办法是对每一步算式弄清算理，错误的算式只有在分析算理后才能知道错在什么地方，分析了算式的错误后正确的列式也就产生了。
　　例 14少先队开展植树活动。第一中队植树40棵，第二中队比第一中队少植树5棵，第三中队植的是第一中队的2倍。三个中队一共植树多少棵？
　　[解]40+（40-5）+40×2
　　=40+35+80
　　=155（棵）。
　　答：三个中队一共植树155棵。
　　[常见错误]
　　（1）40-5+40×2
　　=35+80
　　=115（棵）。
　　答：三个中队一共植树115棵。
　　（2）（40-5）×2
　　=35×2
　　=70（棵）。
　　答：三个中队一共植树70棵。
　　例 15甲乙两城相距128.1千米，一辆汽车从甲城开往乙城，行驶3小时后离乙城还有20.1千米。这辆汽车平均每小时行多少千米？
　　[解]（128.1-20.1）÷3
　　=108÷3
　　=36（千米）。
　　答：这辆汽车平均每小时行36千米。
　　[常见错误]
　　128.1÷3-20.1=42.7-20.1
　　=22.6（千米）。
　　答：这辆汽车平均每小时行22.6千米。
　　[分析]
　　例14的错解（1）是对题中的“第二中队比第一中队少植树5棵”理解错误，以为40-5的结果是两个中队植的。错解（2）则是对题中的已知条件及所求的问题都是不清楚的。例 4的错误是将“行驶3小时后离乙城还有20.1千米”理解为汽车的平均速度，比 3小时行完甲、乙城的距离还少20.1千米。为了防止以上错误的发生，且对这类问题的数量关系有较深刻地理解，用图示帮助分析是很必要的，如例14在分析数量关系时可画出如下面的图。

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　　从上图可以清楚地看出，要求三个中队共植树多少棵，必须求出第二中队、第三中队各植树多少棵，再求出三个中队共植树多少棵。
　　例 15解答时可画出下图。

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　　从图中清晰地看出，汽车行3小时还距乙城20.1千米，也就是说，汽车3小时只行了128.1-20.1=108（千米），而不是行了128.1千米。理解了这点后，再根据距离、速度、时间三者的关系，就能较容易求出汽车的平均速度。