函数概念的演变

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函数概念是数学中最基本的概念之一，但它不像算术产生于远古时代，函数概念的产
生非常晚，至今只有三百余年历史。函数概念的演变大体上可分为萌芽阶段、形成阶段、
成熟阶段、近代阶段和现代阶段等五个阶段。

在公元十六世纪之前，数学上占统治地位的是常量数学，其特点是用孤立、静止的观
点去研究事物。具体的函数在数学中比比皆是，但没有一般的函数概念。十六世纪，随着
欧洲过渡到新的资本主义生产方式，迫切需要天文知识和力学原理。当时，自然科学研究
的中心转向对运动、对各种变化过程和变化着的量之间依赖关系的研究。数学研究也从常
量数学转向了变量数学。数学的这个转折主要是由法国数学家笛卡尔完成的，他在《几何
学》一文中首先引入变量思想，称为“未知和未定的量”，同时引入了两个变量之间的相依
关系。这便是函数概念的萌芽。十七世纪，在对各种各样运动的研究中，人们愈来愈感到
需要有一个能准确表示各种量之间关系的数学概念。经过深思熟虑，人们从笛卡尔的变量
思想中得到启示，从而引出了函数概念。据考证，十七世纪中叶，微积分的创始人之一德
国数学家莱布尼兹最先使用函数（function）这个名词。不过，他指的是变数x的幂x，x，…
等等。后来才逐步扩展到多项式函数、有理函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函
数和反三角函数以及由它们的四则运算、各种复合所形成的初等函数。这些函数都是具体
的，都有解析表达式，并且和曲线紧密联系在一起。那时的函数就是表示任何一个随着曲
线的点的变动而变化的量。至此，还没有函数的一般定义。

十八世纪初，贝努利最先摆脱具体的初等函数的束缚，给函数一个抽象的不用几何形
式的定义：“一个变量的函数是指由这个变量和常量的任何一种方式构成的一个量。”欧拉
则更明确地说：“一个变量的函数是该变量和常数以任何一种方式构成的解析表达式。”函
数之间的原则区别在于构成函数的变量与常量的组合方式的不同。欧拉最先把函数的概念
写进了教科书。在贝努利和欧拉看来，具有解析表达式是函数概念的关键所在。

1734年，欧拉用记号y=f( x)表示变量x的函数，其中的“f”取自“function”的第
一个字母。

十八世纪中期，由于偏微分方程中的弦振动问题引起了关于函数概念的争论，迫使数
学家接受一个更广泛的概念。1755年欧拉给函数下了一个新的定义：如果某些量这样地依
赖于另一些量，当后者改变时它经常变化，那么称前者为后者的函数。

法国数学家傅立叶的工作更广泛地展现了函数究竟是什么的问题，他的工作动摇了十
八世纪的信念，那种视函数仅为解析式的观点作为揭示函数关系真谛的巨大障碍终于排除
了。
十九世纪20年代，微积分严格理论的奠基者柯西的函数概念，可以说是现代函数概
念的基础，他认识到函数是变量与变量之间的一种关系，但不足之处是仍然没有摆脱“表
达式”之说。

1837年，德国数学家狄利克莱在总结柯西和罗巴切夫斯基工作的基础上，给出至今最
常用的函数定义：如果对于给定区间上的每一个x的值都有唯一的一个y值与它对应，那
么y就是x的一个函数。至于在整个区间上y按照一种还是多种规律依赖于x，或者y依
赖于x是否可用数学运算来表达，那都是无关紧要的。

十八世纪以来，随着微积分的发展，函数概念不断变化，经过二百多年的演变，函数
概念逐步清晰与稳定。引入了映射概念，其一般定义为：设集合X、Y，如果X中每一个元
素x都有Y中唯一确定的元素y与之对应，那么我们就把此对应叫做从集合X到集合Y的
映射。记作f：X→Y，y=f(x)。

二十世纪初，G·H·哈代更明确指出：函数的本质属性在于：y和x之间存在某种关
系，使得y的值总是对应着某些x的值。

随后，O·维布伦用集合定义了变量与函数。“变量是代表某个集合中任一元素的记号。”
“变量y的集合与另一个变量x的集合之间，如果存在着对于x的每一个值，y有确定的
值与之对应，那么y叫做x的函数。”这个定义比此前的定义更合理、更确切，这是一个比
较完整的函数概念。

1939年，N·布尔巴基用集合之间的映射定义了函数：
“设E和F是两个集合，E中的每一个变元x和F中的每一个变元y之间的一个关系
f称为函数，如果对每一个x∈E，都存在唯一的y∈F，它们满足给定的关系。”记作f：E→F，
f
或者记作E??→F。

在布尔巴基的定义中，E和F不一定是数的集合。他强调函数是集合之间的一个映射。
因此，他所定义的函数更加广泛。

现在常用的函数概念，也是中学数学中的函数概念，把变量局限于实数范围：
设x表示某数集D中的变元。对D中每一个x，按一定的法则有唯一的实数y与之对
应，则称y是x的函数，记作y=f(x)。称x为自变量，D叫做函数的定义域，f表示对应
法则，y的取值范围叫做函数的值域。

二十世纪以来，函数概念不断扩充，函数不仅是变数，还可以是其它变化着的事物。
还出现了所谓广义函数以及函数的函数等等。但大体上可被布尔巴基的函数概念覆盖。以
研究函数为已任的分析学，成为数学的三大基本分支之一，形成几何、代数、分析三足鼎
立的局面。在分析学中，函数论占有重要地位，它又划分为实函数论与复函数论两大部分，
分工越来越细。

我国最早使用“函数”一词是清朝数学家李善兰。1859年李善兰在上海与英国人伟烈
亚力合作译英国数学著作《代数学》时译道：“凡式含天，为天之函数”，首次将“function”
译成“函数”。中国古代以天、地、人、物表示未知数，“函”字即“含有”、“包含”之意。

函数概念的演变过程，就是一个函数内涵在不断地被挖掘、丰富和精确刻划的历史过
程；同时看出数学概念并非生来就有，一成不变，而是人们在对客观世界深入了解过程中
得到，并不断加以发展的，从而以适应新的需要。