竞赛讲座 之 平面三角

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竞赛讲座－平面三角

三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一． 一、三角函数的性质及应用 　 三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用． 【例1】　求函数y=2sin( 095904_4c5b5f55e4b1812.gif -2x)的单调增区间。 解：y=2sin( -2x)= 2sin(2x+ 095904_4c5b5f55e56ce12.gif )。 由2kπ- 095904_4c5b5f55e628512.gif ≤2x+ ≤2kπ+ ，k∈Z， 得kπ- 095904_4c5b5f55e6e3c12.gif ≤x≤kπ- 095904_4c5b5f55e79f212.gif ，k∈Z。 即原函数的单调增区间为：[kπ- ，kπ- ]（k∈Z）。 【例2】　 若φ∈（0， ），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间的大小。 解：∵在（0， ）中，sinx ，∴sin(cosφ) ∵在（0， ）中，y=cosx单调递减，∴cosφ ∴sin(cosφ) 【例3】　 已知x,y∈[- 095904_4c5b5f55e85ac12.gif ， ]，a∈R，且 095904_4c5b5f55e91a712.gif 。求cos(x+2y)的值。 解：原方程组化为 095904_4c5b5f55e9d5e12.gif 。 ∵x,-2y∈[- ， ]，函数f(t)=t3+sint在[- ， ]上单调递增，且f(x)=f(-2y) ∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。 【例4】　求证：在区间（0， ）内存在唯一的两个数c、d(c＜d)，使得 sin（cosc）＝ c， cos（sind）＝ d． 证明：考虑函数f（x）＝cos（sinx）－x，在区间[0， ]内是单调递减的，并且连续，由于f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，f（ ）＝cos（sin ）－ = cos 1－ ∴存在唯一的d∈（0， ），使f（d）＝0，即cos（sind）＝ d． 对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sin d，sin（cosc）=c。 显然c∈（0， ）。且由y=sinx在（0， ）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。 故存在唯一的c＜d，使命题成立。 【例5】 095906_4c5b5f55ea91412.jpg α、β、γ∈（0， ），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。 解：∵α、β、γ∈（0， ），∴ctgβ>0，0 。 ∴β=sin(ctgβ) ctgγ。 作出函数y=ctgx在（0， ）上的图象，可看出：β 【例6】　 n∈N，n≥2，求证：cos 095234_4c5b5f54817ff12.gif ?cos 095320_4c5b5f552db2712.gif ? ??? ?cos 095906_4c5b5f55eb4cb12.gif > 095906_4c5b5f55ec08212.gif 。 证明：∵0 095906_4c5b5f55ecc3812.gif 095906_4c5b5f55ed7f312.gif ∴0 095906_4c5b5f55ee35d12.gif ，cos2 =1-sin2 >1- 095906_4c5b5f55eef1312.gif = 095906_4c5b5f55efaca12.gif ，k=2，3，…，n。 ∴(cos ?cos ? ??? ?cos )2>( ? 095908_4c5b5f55f068012.gif )?( ? 095908_4c5b5f55f123612.gif )?( ? )???( ? ) = ? > >( )2， ∴cos ?cos ? ??? ?cos > 。 二、三角恒等变换 众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。 【例1】（1）已知cosβ= - ，sin(α+β)= ，且0 （2）已知sin( -α)= ，求 的值。 提示：（1）sinα= 。 （2）sin2α=1-2 sin2( -α)= ； = 。 【说明】三角变换重在角的变换。 【例2】求cos cos cos …cos 的值。 解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ???cos2nθ= ，得 cos cos cos cos = - ，∴cos cos cos cos = 。 又cos cos = ，cos = ， ∴cos cos cos …cos = × × = 。 解法2：cos cos cos …cos = ? ? ? ??? ? = = 。 解法3：利用公式cosαcos( +α)cos( -α)= cos3α，取α= 、 。 【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。 解：由倍角公式得 cos4θ=( )2= (1+2cos2θ+cos22θ)= + cos2θ+ cos4θ， ∴cos420°+cos440°+cos480°= ×3+ (cos40°+ cos80°+ cos160°) + (cos80°+ cos160°+ cos320°)= + (cos40°+ cos80°+ cos160°) = + (2cos60° cos20°- cos20°)= 。 【例4】若sinα+cosβ= ，cosα+sinβ= ，求sinαcosβ的值。 解：令θ= -β，则 (1)÷(2)得tg = ， cos(α+θ)= ， ∴sinαcosβ=sinαsinθ= - [ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = - 。 【例5】已知f(x)= sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，0 解法一：由偶函数的定义，可得( cosθ+sinθ)sinx=0对任意x∈R成立。 ∴ cosθ+sinθ=0，2 sin(θ+ )=0， ∴θ+=kπ，而0 。 解法二：由f(- )=f( )，得θ= ，然后验证f(x)是偶函数。 【例7】方程sinx+ cosx+a=0在（0，2π）内有相异两根α、β，求实数a的取值范围，以及α+β的值。 解：∵sinx+ cosx+a=0，∴sin (x+ )= - 。 令t= x+ ，则t∈( ， )，sint= - 。 作出函数y= sint，t∈( , )的图象： 由图象可以看出：当-1 ≠ 即-2 或- 有相异两根t1、t2，原方程有相异两根α、β，并且 当-2 时，t1+t2=(α+ )+(β+ )=π，α+β= ； 当- 1+t2=(α+ )+(β+ )=3π，α+β= 。 【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。 解：由已知得， (1)2+(2)2得cos(x-y)= - ， 同理，cos(y-z)= - ，cos(z-x)= - 。 ∴x，y，z中任意两角的终边夹角为 ，不妨设 x=y+ +2mπ,m∈Z，y=z+ +2nπ,n∈Z， ∴x= z+ +2(m+n)π， x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π， ∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz = tg3z+tg(z+ )tg(z+ )tgz = tg3z+tg(z+ )tg(z- )tgz = tg3z+ tgz tg( +z)tg( -z) =0。 【说明】如能熟练运用下列公式，可对解题带来很大方便： sinαsin( +α)sin( -α)= sin3α， cosαcos( +α)cos( -α)= cos3α， tgαtg( +α)tg( -α)=tg3α。 如sin10°sin50°sin70°= sin(3×10°)= 。