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1、如图，已知两个半径不相等的圆
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与圆
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相交于M、N两点，且圆
、圆
分别与圆
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内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。（命题组供题）
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证明：如图，设圆
、圆
，圆
的半径分别为
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、
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、
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。由条件知O、O1、S三点共线及O、O2、T三点共线，且OS＝OT＝
，连结OS、OT、SN、NT、O1M、O1N、O2M、O2N、O1O2。
充分性：设S、N、T三点共线，则∠S＝∠T,又△O1SN与△O2NT均为等腰三角形,
∴∠S＝∠O1NS，∠T＝∠O2NT, ∴∠S＝∠O2NT, ∠T＝∠O1NS，
∴O2N∥OS, O1N∥OT,故四边形OO1NO2为平行四边形，由此知OO1＝O2N＝
＝MO2,
OO2＝O1N＝
＝MO1, ∴△O1MO≌△O2OM,从而有
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，由此得O1O2∥OM,又由于O1O2⊥MN，故0M⊥MN。
必要性：若0M⊥MN，又O1O2⊥MN，故O1O2∥OM，从而有
，
设OM＝
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，由O1M＝
，O1O＝
－
，O2O＝
－
，O2M＝
，知△O1MO与△O2OM 的周长都等于
＋
，记
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，由三角形面积的海伦公式，有
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，
化简得（
－
）（
－
－
）＝0，又已知
≠
，∴
＝
＋
，故有
O1O＝
－
＝
＝O2N，O2O＝
－
＝
＝O1N，∴OO1NO2为平行四边形，
∴∠O1NT＋∠T＝180°，∠O2NS＋∠S＝180°，又△O1SN与△O2NT均为等腰三角形，
∠T＝∠O2NT，∠S＝∠O1NS，∴∠O1NO2＋2∠S＝∠O2NS＋∠S＝∠O1NT＋∠T＝∠O1NO2＋2∠T，即∠S＝∠T，∴∠O1NS＝∠O2NT，故∠O1NS＋∠O1NO2＋∠O2NT＝∠SNO2＋∠S＝180°，
∴S、N、T三点共线。
2、试问：当且仅当实数
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满足什么条件时，存在实数
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使得
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…（1）成立，其中
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为虚数单位，
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,证明你的结论。 （天津供题）
解：易知（1）
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，
若存在实数
使（2）成立，则
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，
由柯西不等式可得
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，如果
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，则由（2）可得
，从而
与（3）矛盾。于是得
，
反之，若（4）成立，有两种情况
（i）
，则取
，显然（2）成立。
（ii）
，记
，从而
不全为0，不妨设
，取
，
，
，易知（2）也成立。
综上可知，所求的条件为
。
3、在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第
行第
列中填入的数为
（如表1），然后将表1每列中的数按由大到小的次序从上到下重新排列为
（如表2）。求最小的自然数
，使得只要表1中填入的数满足
，则当
时，在表2中就能保证
成立。 （命题组供题）
解：
的最小值为97。
（1）取
这时
，满足题设条件，重排后有
，
这时
，故
的最小值
。
（2）首先证明：表1中必有一行（设为第
行）的所有数
，必在重排后所得表2的前97行中都出现。
事实上，若上述结论不成立，则表1的每一行中至少有一个数不在表2的前97行中出现，即表2的前97行中至多共有表1中100×24＝2400个数，这与表2的前97行共有25×97＝2425个数矛盾。
其次，由重排要求知表之中每列的数从上到下是由大到小排列的，故当
时，
故当
时，
，
综合（1）、（2）知
的最小值为97。
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发表于 2016-8-11 21:26:38