A5－028 对于每个正整数n，以s（n）表示满足如下条件的最大正整数：对于每个正整数k≤s（n），n2都可以表示成k个正整数的平方之和．
1．证明：对于每个正整数n≥4，都有s（n）≤n2－14；
2．试找出一个正整数n，使得s（n）=n2－14；
3．证明：存在无限多个正整数n，使得s（n）=n2－14．
【题说】第三十三届（1992年）国际数学奥林匹克题6．本题由英国提供．
【解】用反证法证明如下：
假设对某个n≥4，有s（n）≥n2－14，则存在k=n2－13个正整数a1，a2，…，ak，使得
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于是就有
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从而
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3b＋8c=13
这表明c=0或1；但相应的b不为整数，矛盾．
2．每个大于13的正整数m可以表为3b＋8c，其中b、c为非负整数．事实上，若m=3s＋1，则s≥5，m=3（s－5）＋2×8．若m=3s＋2，则s≥4，m=3（s－2）＋8．
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由
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即知n2可表为n2－m个平方和，从而n2可表为n2－14，n2－15，…，
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对于n=13，有
n2=122＋52=122＋42＋32=82＋82＋52＋42
由于82可表为4个42的和，42可表为4个22的和，22可表为4个12的和，所以132=82＋82＋52＋42可表为4，7，10，…，43个平方的和，又由于52=42＋32，132可表为5，8，11，…，44个平方的和．
由于122可表为4个62的和，62可表为4个32的和，所以132=122＋42＋32可表为3，6，9，…，33个平方的和．
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为18＋2×9=36，18＋2×12=42个平方的和．再由42为4个22的和，132也可表为39个平方的和．
综上所述，132可表为1，2，…，44个平方的和．
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3．令n=2k×13．
因为132可表为1，2，…，155个平方的和，22可表为4个平方的和，所以132×22可表为1，2，…，155×4个平方的和，132×24可表为1，2，…，155×42个平方的和，…，n2=132×22k可表为1，2，…，155×4k个平方的和．
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s（n）=n2－14
A5－029 每个正整数都可以表示成一个或者多个连续正整数的和．试对每个正整数n，求n有多少种不同的方法表示成这样的和．
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发表于 2016-8-11 21:26:08