“任我意”与“从特殊情况考虑”的数学思想

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一道学而思例题与重点中学小升初试题的巧合
                                          "任我意"与"从特殊情况考虑"的数学思想
　　在我们学而思四年级下学期(春季班)第3讲三角形的等积变换里，有一道求面积的图形题，是提高班的例9，这道题的方法可以轻松地解决某些小升初的相关的图形题，值得我们举一反三。原题如下所述：
　　如图，正方形ABCD和正方形CEFG，正方形ABCD的边长为10厘米，则三角形BFD的面积为多少平方厘米？

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　　课堂上老师给同学们讲了三种方法，我们在这里介绍其中一种对于解数学题使用很广的方法------"任我意"的思考方法。
　　因为图中只给出了大正方形ABCD的边长，小正方形CEFG的边长不知道，而且我们发现通过已知条件求不出小正方形的面积，所以我们推断所求三角形BFD的面积与小正方形的边长没有关系（它的边长可以是任意长，但所求的三角形的面积是保持不变的），所以我们可以把小正方形的边长设定为一个我们易于解决问题的数据
　　（1）如果设小正方形的边长为0，也就是把小正方形缩小为一个点，得到如下的图形，

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　　其中E、F、G和C点重合在一起了，所求三角形BFD的面积就变成了三角形BCD的面积了，10×10÷2=50（平方厘米）
　　（2）或者把小正方形的边长设为10，也就是使两个正方形的边长相等，如下图：

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　　这样所求三角形BFD的面积就是：10×10÷2=50（平方厘米）
　　这道题用到的"任我意"的思考方法在解决数学问题应用是很广的，它和第6讲的数学思想与方法（三）里介绍的"从特殊情况考虑"的思想其实是同一种思考方法，小正方形的边长既然不知道，我们推断所求三角形BFD的面积与小正方形的边长没有关系（它的边长可以是任意长，但所求的三角形的面积是保持不变的），所以我们选择它的特殊情况考虑（即小正方形边长为0或10），为了培养同学们的对知识和方法进行前后联系的意识，所以在学第6讲时我们把这道题联系起来，又让同学们复习了一遍。
　　希望同学们在以后的学习中，可以经常联想学过的有关知识、例题、和方法，拓展思路，一题多解，或多题一解，有时一道题可以有多种方法；有时一种方法可以解决很多同类型的题，（当然需要我们找出相关题的共同之处，例如鸡兔同笼所用到的假设法就可以解决很多相关问题），如果我们平时学习新知识的时候，能有意识地把学过的方法或做过的题与新学的方法或知识进行前后联系，会有很多新的收获，使我们学过的方法能达到举一反三、以一当十甚至以一当百的效果。
　　我们平时的学习需要做一定量的例题和练习来进行巩固，但题不一定做得越多越好，如果一道题研究得透，思考得多，收获可能比泛泛地做10道题甚至100道题还要多。
　　上面这道题在考试中的应用：
　　（1）今年（2009年4月），我在海淀区某重点中学参加小升初监考时就看到了一道选择题与这道题非常类似，可以用同样的方法解决，考题如下：如图，正方形ABCD和正方形CEFG的边长分别为m、n，那么三角形AEG面积的值（）
　　A．只与m的大小有关      B．只与n的大小有关
　　C．与m、n的大小都有关      D．与m、n的大小都无关

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　　（2）（2003年西城区某重点中学小升初分班考试题也与此题及其类似）
　　右图是由大小两个正方形组成的，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC的面积。

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　　请同学们自己思考以上考题的解法，如果能想出3种方法就更棒了！
　　参考答案：（1）B    （2）4×4÷2=8（平方厘米）