在2013年小升初中，奥数竞赛占了一个非常重要的位置。也可以说奥数就是重点中学的一块小小的敲门砖，可以让你在小升初择校过程中事半功倍。下面是奥数网小编整理的2013年数学竞赛解题密匙，希望对大家有所帮助。
二、填数问题——从“九宫算”谈
在填数问题中，小学生常常采用“凑”的方法，通过几次试验来寻找解 答。如果我们深挖其中的道理，就会找到一些解题规律，使认识进一步深化。 在这个意义上讲，填数问题是一种很好的“锻炼思维的体操”。
我国古代人民对数学的发展作出过许多杰出贡献，著名的“九宫算”就 是其中之一，最早提出的问题是：
将 1 至 9 这九个数字填在右图中九个方格里使每一横行、每一纵列和两个对角线上的数之和相等。
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这种图形填数，我国古代称为“九宫算”、“纵横图”，国外叫做幻方。
“九宫图”就是将 1 至 9 的九个数填在 3×3 的小格内，它是一个三阶幻方。 传说大禹治水的时候，洛水中浮出一只神龟，龟背上驮了一个“洛书”图。将它译释成今日数字即为一个三阶幻方。
一般地，在 n×n 的方格内，既不重复又不遗漏地填上 n2 个自然数，每 个数占一格，并使每行、每列及两条对角线上 n 个自然数的和都相等，这样排成的数表称为 n 阶幻方。都相等的和叫幻和。
幻方曾使不少数学爱好者入迷。大数学家欧拉、著名物理学家富兰克林 就曾经对幻方很感兴趣。目前，最大的幻方是 105 阶，它是由美国一位 13 岁少年作成的。
下面我们来谈谈如何填好“九宫图”。
例 1 填九宫图所表示的幻方。 解：首先应解决二个问题：
(1)每行、每列的和是多少?(这个和叫幻和)
(2)中间位置的数应当填几?(求幻和时几次用到了它) 为了叙述方便，我们把每个方格内要填的数字用字母表示。
首先求出幻和。因为 a1+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3=1+2+3+4+⋯⋯+9=45， a1+a2+a3=b1+b2+b3=c1+c2+c3=幻和，所以，幻和×3=45，幻和=45÷3=15。
其次，确定中心数 b2。 因为(al+b2+c3)+(a3+b2+c1)+(a2+b2+c2)+(b1+b2+b3)=15×4 al+a2+a3+b1+b2+b3+c1+c2+c3+3b2=60，所以 b2=5，即中间数应当是 5。
最后，考虑四个角上应填什么数 假设 a1为奇数，那么
1)如果 a2 也是奇数，那么 a1+a2+a3=a1+5+c3=a2+5+c2=15。于是a3、c3、c2 也都是奇数，连同 b2=5 共有六个奇数，矛盾。
(2)如果 a2 为偶数，那么 a3、c2 为偶数。又因为 c3 为奇数，a3+b3+c3=c1+c2+c3=15，所以 b3、c1 为偶数。这样就有 5 个偶数，矛盾。
所以 a1 不能为奇数。
同理可证 c1、c3、a3 都不能为奇数。弄清了这一点就可填写三阶幻方(如 图 4、图 5)。
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发表于 2016-8-9 17:22:39
