六年级奥数试题：定义新运算问题2（附答案详解）
三、定义新运算（二）年级 班 姓名 得分
一、填空题
1.规定:a※b=(b+a)×b,那么(2※3)※5= .
2.如果a△b表示 ,例如3△4 ,那么,当a△5=30时, a= .
3.定义运算“△”如下:对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的和记为a△b.例如:4△6=(4,6)+=2+12=14.根据上面定义的运算,18△12= .
4.已知a,b是任意有理数,我们规定: a⊕b= a+b-1, ,那么 .
5.x为正数,表示不超过x的质数的个数,如=3,即不超过5.1的质数有2,3,5共3个.那么++××>的值是 .
6.如果a⊙b表示 ,例如4⊙5=3×4-2×5=2,那么,当x⊙5比5⊙x大5时, x= .
7.如果1※4=1234,2※3=234,7※2=78,那么4※5= .
8.我们规定:符号~表示选择两数中较大数的运算,例如:5~3=3~5=5,符号△表示选择两数中较小数的运算,例如:5△3=3△5=3.
~
△
△
~
请计算: .
9.规定一种新运算“※”: a※b= .如果(x※3)※4=421200,那么x= .
10.对于任意有理数x, y,定义一种运算“※”，规定:x※y= ,其中的 表示已知数,等式右边是通常的加、减、乘运算.又知道1※2=3,2※3=4,x※m=x(m≠0),则m的数值是 .
二、解答题
11.设a,b为自然数,定义a△b .
(1)计算(4△3)+(8△5)的值;
(2)计算(2△3)△4;
(3)计算(2△5)△(3△4).
12.设a,b为自然数,定义a※b如下:如果a≥b,定义a※b=a-b,如果a
13.设a,b是两个非零的数,定义a※b .
(1)计算(2※3)※4与2※(3※4).
(2)如果已知a是一个自然数,且a※3=2,试求出a的值.
14.定义运算“⊙”如下:
对于两个自然数a和b,它们的最大公约数与最小公倍数的差记为a⊙b.
比如:10和14,最小公倍数为70,最大公约数为2,则10⊙14=70-2=68.
(1)求12⊙21,5⊙15;
(2)说明,如果c整除a和b,则c也整除a⊙b;如果c整除a和a⊙b,则c也整除b;
(3)已知6⊙x=27,求x的值.
———————————————答 案——————————————————————
1.100.
因为2※3=(3+2)×3=15,所以(2※3)※5=15※5=(5+15)×5=100.
2.8.
依题意,得 ,解得 .
3.42.
18△12=(18,12)+=6+36=42.
4.98.
原式
5.11.
为不超过19的质数,有2,3,5,7,11,13,17,19共8个.为不超过的质数,共24个,易知=0,所以
原式=+>===11.
6.6.
x⊙5-5⊙x=(3 x-2×5)-(3×5-2 x)=5 x-25,由5 x-25=5,解得x=6.
7.45678.
8..
因为 ~ ~ ,0.625△ △ ,
△ △ , ~ ~ ,
所以,原式 .
9.2.
令x※3=y,则y※4=421200,
又421200 ,
所以y=24,即x※3=24.
又24= ,故x=2.
10.4.
由题设的等式x※y= 及x※m=x(m≠0),得
,
所以bm=0,又m≠0,故b=0.因此x※y=ax-cxy.
由1※2=3,2※3=4,得 解得a=5,c=1.
所以x※y=5x-xy,令x=1,y=m得5-m=1,故m=4.
11.(1)原式 ;
(2)原式 △4=7△4= ;
(3)原式 △ △13
.
12.(1)原式=(4-3)※9=1※9=9-1=8;
(2)因为表示a※b表示较大数与较小数的差,显然a※b= b※a成立,即这个运算满是交换律,但一般来说并不满足结合律,例如:(3※4)※9=8,而3※(4※9)=3※(9-4)=3※5=5-3=2.
13.(1)按照定义有2※3 ,3※4 .
于是(2※3)※4 ※4= .
2※(3※4)=2※ .
(2)由已知得 ①
若a≥6,则 ≥2,从而 与①矛盾.因此a≤5,对a=1,2,3,4,5这5个可能的值,一一代入①式中检查知,只有a=3符合要求.
14.(1)为求12⊙21,先求出12与21的最小公倍数和最大公约数分别为84,3,因此12⊙21=84-3=81,同样道理5⊙15=15-5=10.
(2)如果c整除a和b,那么c是a和b的公约数,则c整除a,b的最大公约数,显然c也整除a,b最小公倍数,所以c整除最小公倍数与最大公约的差,即c整除a⊙b.
如果c整除a和a⊙b,由c整除a推知c整除a,b的最小公倍数,再由c整除a⊙b推知, c整除a,b的最大公约数,而这个最大公约数整除b,所以 c整除b.
(3)由于运算“⊙”没有直接的表达式,解这个方程有一些困难,我们设法逐步缩小探索范围.
因为6与x的最小公倍数不小于27+1=28,不大于27+6=33,而28到33之间,只有30是6的倍数,可见6和x的最小公倍数是30,因此它们的最大公约数是30-27=3.
由“两个数的最小公倍数与最大公约数的积=这两个数的积”,得到 .
所以 .
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