小学数学五年级教案——《圆的认识》课堂实录
一、整体感受师：今天这节课，我们研究时正是圆。瞧，(教师出示一个．信封)这信封里就装有一个圆，想看看吗?
生(齐)：想!
师(从中摸出一个圆)：是圆吗?
生：是。
师：现在，老师把它重新放回信封里，有信心把它从信封里摸出来吗?
生：有!
师：那当然，如果信封里只有这一个图形，谁都能摸出来。(生笑。)但问题是，信封里除了这个圆以外，还有其他平面图形。想看看吗?
生：想!
教师先后从信封中取出一些图形(如图1)，让学生一一辨认。
师：现在，要从这一堆平面图形中把圆摸出来，有难度吗?
生(齐)：没有!
师：为什么?
生：很简单呀，圆是弯弯的，而其他图形的边都是直直的。
生：圆没有角，而其他图形都有角。
师：奇怪，为什么这些图形都有角，而圆却没有呢?
生：因为这些图形都是由直线围成的……
师：不够专业。
生：哦，是由线段围咸的。
师：这就对了!我们把这些由线段围成的平面图形，叫做直线图形。直线图形都有角。圆是直线图形吗?
生：不是，它是由曲线围成的。
师：所以，圆看起来特别一
生：光滑。
生：圆润。
师：感觉真好!那么，该给这类由曲线围成的，光滑、圆润的平面图形，取个怎样的名称呢?
生：曲线图形。
师：没错!那现在，要从这一堆直线图形中把圆这个唯一的曲线图形摸出来，难不难?
生：不难。
生：找最光滑的摸就行了。
师：不过，问题可不像你们想象的那么简单。因为信封里，还有几个图形呢。(生颇感意外。)
教师出示图2。
师：怎么样，它也是由曲线围成的吧?
生：是呀。
师：看起来也特别光滑?
生：是的。
师：看来，你们一定会把它也当做圆模出来。
生：不会!不会!
师：为什么?
生：因为圆很圆，但它不那么圆。
生：因为它有的地方凹，有的地方凸。
师：噢，这个图形看起来有些凹凸不平。而圆呢?
生：圆不会凹进去，一直向外凸着。
生：圆看起来特别饱满。
师：这个词儿好!不过(教师接着从信封里取出图3)，这儿还有一个图形，它可没有凹凸不平。怎么样，够光滑、够饱满吧?
生：嗯。
师：看来，这一回你们一定会把它当做圆摸出来了。
生：也不会!
师：为什么?
生：因为这个图形看起来扁扁的，不像圆那么鼓。
师(将椭圆旋转90°后)：现在看起来呢?
生：感觉这个图形瘦瘦的。
师：那圆呢?(教师出示圆片，并不停旋转。)感觉怎么样?
生：怎么转，看起来都一样。
生：而且，圆看起来特别匀称。
师：小小的一个游戏，无非是为了让大家认识到，和其他平面图形相比，圆的确—生：很特别。
师：没错，和这些直线图形相比——
生：圆是一个曲线图形。
师：但是，和这些曲线图形相比，圆看起来又特别——
生：光滑、饱满、匀称……
师：难怪2000多年前，伟大的古希腊数学家毕达哥拉斯在研究完大量的平面图形后，发出这样的感慨：在一切平面图形中，圆最美。而且，2000多年过去了，这一观点得到了越来越多的数学家乃至普通大众的认可。那么，圆究竟美在哪儿?更进一步地，究竟是什么内在的原因，使得圆这种平面图形看起来这样光滑、饱满、匀称，以至于成为所有平面图形中最美的一个?就让我们一起带着问题，深入地认识圆；研究圆。
二、寻根究底
师：圆的美，光靠看是不够的，咱还得动手来画。因为，画圆的过程，正是我们体会它的特点、发现它的美的过程。(教师简单介绍圆规的构造后)课前，老师布置同学们试着用圆规画过圆。现在，请大家试着在白纸上画一个圆。(学生用圆规画圆，教师巡视。)
师：应该说，绝大多数同学画得都很棒。不过，也有失败的作品。瞧，这个圆显然变形了，这个则咧着嘴。大胆地猜一猜，这些同学之所以没能成功地用圆规画出一个圆，可能在哪儿出问题了?
生：可能是画圆时，圆规的脚移动了。
师：不动，怎么画出圆呀?
(生笑。)
生：是装有针尖的脚动了!
师：那你得说清楚呀。同学们，你们觉得，针尖所在的脚能随便动吗?
生：不能!一动，画出的圆一定会咧开嘴巴。
师：你试过?
生：是的!我失败过好几次呢。
师：经验之谈呀!当然，也有同学画圆时，圆规两脚都没动，但也画出圆来了，你们猜——
生：我知道!一定是圆规不转，纸转。
师：奇怪，你怎么知道?
生：我就这么试过。
师：看来，用圆规画圆时，针尖得固定，这是宝贵的经验。还有其他可能吗?
生：也可能是他们画圆时，圆规两脚的夹角的角度变了。
师：角度变了，也就意味着——
生：圆规两脚之间的距离变了。
师：看来，用圆规画圆时，两脚之间的距离不能变。现在，掌握了这些要求，有没有信心比刚才画得更好?
生：有!(不少学生拿起圆规急着要画。)
师：别着急!数学学习光会动手还不够，咱还得——
生：动脑。
师：心有灵犀呀!第二次用圆规画圆时，请大家边画边思考：如果方法完全正确，用手中的圆规会不会画出这样一会儿凹、一会儿凸的曲线图形?或者是扁扁的椭圆?
(教师依次指图2、图3。)
生：不会!
师：先别忙着下结论，还是带着这些问题，边画边细细体会吧!
(学生操作。教师巡视，了解学生的感受与思考。)
师：为什么画不出这样的曲线图形，相信不少同学已经有了答案。不过，为了使大家感受更鲜明，我打算在黑板上也来画一个。(教师画完半个圆后，停下。)想象一下，照这样画下去，会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形吗?
生：不会。
师：会画出扁扁的椭圆吗?
生：也不会。
师：为什么?
生：因为圆规两脚间的距离没有变。
师：哪儿到哪儿的距离没有变?
生：就是从这儿(手指圆上的点)到这儿(手指圆心)的距离没有变。只要距离不变，就不会画出一会儿凹、一会儿凸的平面图形了。
师：光这样说好像有点抽象。你能不能把这一不变的距离用一条线段表示出来?(学生上台，连接圆上任选一点与圆心，得到一条线段。)
师：可别小看这条线段，在这个圆里，它可是起着至关重要的决定性作用。有谁了解这条线段?
生：这条线段叫做半径，可以用小写字母r表示。
(教师板书，并引导学生在自己的圆内画出一条半径，标上字母r。)
师：有没有补充?
生：半径的一端连着圆心，另一端在圆上。
师：说得好!圆心是圆规画圆时针尖留下的，可以用字母O示。更准确地说，半径的另一端在圆上。 (教师板书，并引导学生在自己的圆上标出圆心及字母O。)
师：关于半径，你们还知道些什么?
生：圆应该不只有一条半径。
生：圆有无数条半径。
生：半径的长度都相等。
师：看来，关于半径，同学们的发现还真不少。但是，没有经过思维考量的数学直觉，算不上真正的数学知识。刚才有人说，圆有无数条半径，同意的请举手。
(全班学生都举起了手)不过，为什么呢?(一只只举起的手慢慢放了下来。)
师：原来，大家都是蒙的!不过还好，至少还有几只手直到现在还举着。要不，先来听听他们的声音，或许你会从中受到启发。
生：刚才我只画了一条，但如果我们继续画下去，永远也画不完，所以应该有无数条。
师：都同意?
生：同意!
师：有人就不同意。这是我自己班上的小陈同学在学完《圆的认识》后回去做的一次小实验(教师呈现在半径5厘米的圆上画得密密麻麻的半径)。瞧，他在这么大的圆里画满了半径，最后一数，才524条。不对呀，不是说无数条吗?
生：我觉得他的圆太小了，要是再大一点，那么画的半径就更多了。
师：哦，你是说大圆的半径有无数条，而小圆的半径则未必?(生一时语塞。)
生：不对，大圆小圆的半径都应该是无数条。我想，主要是这位同学用的铅笔太粗了。如果用细一半的铅笔画，应该可以画一千多条；如果用再细一半的铅笔画，半径就有两千多条。这样不断地细下去，最终可以画出无数条半径。
师：多富有想象力呀!半径可以不断地细下去，直到无穷无尽。这样想来，半径当然应该有——
生：无数条。
生：我还有补充。因为半径是从圆上任意一点发出的，所以圆有无数条半径。
师：什么叫任意?
生：随便。
师：那么，在一个圆上有多少个这样随便的点?
生：无数个。
生：有一个点，就能连出一条半径。有无数个点，就能连出无数条半径。
师：回过头来看看，同样是无数条半径，经过我们的深入思考，大家感觉怎么样?
生：我觉得更清楚了。
生：原来只是—种感觉，现在真正理解了。
师：数学学习可不能只浮子表面，或停留于直觉，还得学会问为什么。只有这样，数学思考才会不断走向深入。关于半径，还有其他新的发现吗?
生：它们的长度都相等。
师：同意的举手。(全班学生又一次都举起了手。)了不起!不过——
生：为什么?(话还没说完，一大半学生就放下了手。听课教师大笑。)
师：有这样的追问意识挺好!不过，光等着别人来回答也不是个办法。这样吧，我稍作提醒：课前，数学老师让咱们都带了直尺，猜猜为什么?
生：可以量。(学生操作后，发现圆的半径的确都相等。)
生：其实根本不用量。因为画圆时，圆规两脚的距离一直不变，而两脚的距离其实就是半径的长，所以半径的长度当然处处相等。
师：多妙的思路1看来，画一画、量一量是一种办法，而借助圆规画圆的方法进行推理，同样能得出结论。通过刚才的研究，关于半径，我们已有了哪些结论?
生：半径有无数条，它们的长度都相等。
师：其实，关子圆，早在2000多年前，我国古代伟大的思想家墨子也得出过和我们相似的结论。只不过，他的结论是用古文描述的，不知道你们能不能看懂?(课件出示：“圆，一中同长也。”)生：一中，应该是指圆心。
师：没错。圆心，正是圆的中心。那同长——
生：应该是指半径同样长!
师：这样看来，墨子得出的结论和我们刚才得出的——
生：完全一样。
师：不过，也有人指出，这里的“同长”除了指半径同样长以外，还可能指——
生：直径同样长。
师：没错。(板书：直径。)连接圆心和圆上某一点的线段叫半径。那么，怎样的线段叫直径呢?(少数学生举手。)我猜，多数同学不是不知道，而是不会用语言来描述，是这样吗?(多数学生连连点头。)那么，你们能用手比画出一条直径吗?(学生比画。)
师：刚才的半径是同学们画的。这回，我自己来试试。(教师故意将直尺摆放在偏离圆心的位置，提笔欲画。)
生：老师，您的直尺放错位置啦，应该放在圆心上。
师：哦，，原来是这样。(教师调整好直尺的位置，并从圆上某点开始画，画到圆心时停下。)
生：错!
生：这是一条半径呢，还得继续往下画。
教师继续往下画，眼看就要画到圆上时，不露痕迹地停下了笔。
生：对!
生：不对!是错的。我们上当了。
师：怎么又反悔了?
生：还没到头，还得再往前画一点点。
教师继续往下画。就在学生喊“对”时，教师又悄悄地往前画了一小段。
生：对!
生：不对!出头啦。
师：一会儿对，一会儿错，都给你们弄糊涂了。画直径到底得注意些什么呢?
生：得通过圆心。
生：两头都要在圆上。
生：还不能出头。
师：这就对啦!数学上，我们把通过圆心、两端都在圆上的线段叫做直径。直径通常用字母d表示(板书：d)。请在你的圆上画出一条直径，标上字母d。(学生操作。)
师：半径的特点已经研究过了，直径又有哪些特点呢?大家可以和半径比较着研究。半径有无数条，那么——
生：直径也有无数条。
师：半径的长度都相等，那么——
生：直径的长度也都相等。
师：直径有无数条，我们就不必去探讨了，原因和半径差不多。直径的长度都相等，为什么呢?
生：我们是量的，发现直径的长度都是6厘米。
师：瞧，动手操作又一次帮助我们获得了结论。
生：不用量也行。我们发现，每一条直径里面都有两条半径，半径的长度都相等，那么，直径的长度当然也都相等。
师：在我们看来，这只是一条直径，但在他的眼里，还看出了两条半径，多厉害!尤其是，他的发现还帮助我们获得了一个新的结论，那就是，在同一个圆里，直径和半径是有关系的。谁能用最简洁的语言描述出它们之间的关系?
生：直径是半径的两倍。
师：挺好。还能更简洁吗?
生：半径x2：直径。
师：的确又简洁了些。还能更简洁吗?(无人举手。)想想它们的字母——
生：我知道了，d=2r。
师：这就是数学语言的魅力!同学们可千万别小看这个结论。(教师课件出示图4)试想一下，如果在一个圆里，圆的半径不是都相等的，而是有的长、有的短，最后连起来的还会是一个光滑、饱满、匀称的圆(指着图4)吗?
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