数学学习乐园之一百四十二（多阶形式）
图1中的幻方满足
8+1+6=4+9+2
但你可能没有注意到另一种特性：
82+12+62=42+92+22
同样的，
8+3+4=6+7+2
且
82+32+42=62+72+22
其他3×3幻方是否具有同样的性质？再检查一下图2与图3中幻方外侧的行(或列)中的数字平方和是否相等．这是否恒为真？
诸如此类，数字和与乘方的和都相等的一组数字，可称为多阶形式(multigrades)．前面所讨论的都是二阶形式，下面则是三阶形式的一个例子：
1+5+8+12=2+3+10+11
12+52+82+122=22+32+102+112
13+53+83+123=23+33+103+113
或许你会以为要找到具有这种性质的数字很困难，其实并非如此．
假设我们把上一个例子中的每一个数字加上2，则
3+7+10+14=4+5+12+13
不只如此，
32+72+102+142=42+52+122+132
而且
33+73+103+143=43+53+123+133
请研究加上其他数字的结果．但我们究竟要如何找出多阶形式？先从简单的等式开始：
1+5=2+4
如将各项加5：
6+10=7+9
将等号两边交叉合并，就可以形成二阶形式：
1+5+7+9=2+4+6+10
12+52+72+92=22+42+62+102
加至每一项的数字5，是使所有多阶形式中的数字都不相同的最小数字．形成三阶形式的方法也是一样，不过也是以二阶形式为基础的．
将10加至上式各项即得：
11+15+17+19=12+14+16+20
然后两边交叉合并，就可以得到：
1n+5n+7n+9n+12n+14n+16n+20n
=2n+4n+6n+10n+11n+15n+17n+19n
其中n=1、2或3．用你的计算器来验算是否正确．
假设以下式开始：
1+5=2+4
然后各项加4，而不是加5，这时二阶形式所包含的数字为：
(1，5，6，8)与(2，4，5，9)
而这可减少为
(1，6，8)和(2，4，9)
因5为相同的数字．
事实上，这就是开始时所介绍的3×3幻方中的数字．
现在将这些数字加上5，并利用前述交叉合并的程序，即可得出三阶形式：
(1，6，8，7，9，14)与(2，4，9，6，11，13)
但6和9为共同的部分，故将它们去掉．这样，我们得到：
1+8+7+14=2+4+11+13
12+82+72+142=22+42+112+132
13+83+73+143=23+43+113+133
试着设计出你自己的多阶形式．只要重复上述的程序，你也可以轻易地作出四阶、五阶或更高阶的形式．
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