五年级奥数天天练及答案2013.4.11
题型：数论问题 难度：★★★★一个房间中有100盏灯，用自然数1，2，…，100编号，每盏灯各有一个开关．开始时，所有的灯都不亮．有100个人依次进入房间，第1个人进入房间后，将编号为1的倍数的灯的开关按一下，然后离开；第2个人进入房间后，将编号为2的倍数的灯的开关按一下，然后离开；如此下去，直到第100个人进入房间，将编号为100的倍数的灯的开关按一下，然后离开．问：第100个人离开房间后，房间里哪些灯还亮着？
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【答案解析】
对于任何一盏灯，由于它原来不亮，那么，当它的开关被按奇数次时，灯是开着的；当它的开关被按偶数次时，灯是关着的；根据题意可知，当第100个人离开房间后，一盏灯的开关被按的次数，恰等于这盏灯的编号的因数的个数；要求哪些灯还亮着，就是问哪些灯的编号的因数有奇数个．显然完全平方数有奇数个因数．所以用平方数编号的灯是亮着的．而内的完全平方数有 ，所以当第100个人离开房间后，房间里还亮着的灯的编号是：1，4，9，16，25，36，49，64，81，100．
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