[答案]五年级2011.10.31奥数天天练
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难度：★★★★
完全平方数:
能不能找到自然数n，使凡，n +97都是完全平方数？
【答案】
假如存在，不妨设a×a=n+97，b×b=n。那么a×a-b×b=a²-b²=(a+b)×(a-b)=97，以为97是素数（质数），所以如果成立，那么a-b=1，a+b=97
a=49, b=48
那么n=48×48=2304 n+97=49×49
所以存在n为48的平方。
难度：★★★★★
试求一个四位数，它是一个完全平方数，并且它的前两位数字相同，后两位数字也相同。
【答案】
四位数可以表示成
a×1000＋a×100＋b×10＋b
＝a×1100＋b×11
＝11×（a×100＋b）
因为a×100＋b必须被11整除，所以a＋b＝11，带入上式得
四位数＝11×（a×100＋（11－a））
＝11×（a×99＋11）
＝11×11×（9a+1)
只要9a＋1是完全平方数就行了。
由a＝2、3、4、5、6、7、8、9验证得，
9a＋1＝19、28、27、46、55、64、73。
所以只有a＝7一个解；b＝4。
因此四位数是7744=11²×8²
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