［答案］六年级2010.7.21奥数天天练
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难度：★★★★
小学六年级奥数天天练：整除问题
已知两数和是60，它们的最大公约数与最小公倍数之和是84，求此二数．
解答：
【小结】找到最大公约数和最小公倍数之间的关系。
难度：★★★★★
小学六年级奥数天天练：整除问题
已知定由"若大于3的三个质数a、b、c满足关系式2a+5b=c，则a+b+c是整数n的倍数"．试问：这个定理中的整数n的最大可能值是多少?请证明你的结论．
分析与解答：先将a+b+c化为3(a+2b)的形式，说明a+b+c是3的倍数，然后利用整除的性质对a、b被3整除后的余数加以讨论得出a+2b也为3的倍数．
∵=a+b+2a+5b=3(a+2b)，
显然，3│a+b+c
若设a、b被3整除后的余数分别为ra、rb，则ra≠0， rb ≠0．
若ra≠rb，则ra=2，rb=1或ra=1，rb=2，则2a+5b =2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3)，或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)；3(2P+59+4)，即2a+5b为合数与已知c为质数矛盾．
∴只有ra=rb，则ra=rb=1或ra=rb=2．
于是a+2b必是3的倍数，从而a+b+c是9的倍数．
又2a+5b=2×11十5×5=47时，=
a+b+c=11+5+47=63，
2a+5b =2×13十5×7=61时，
a+b+c =13+7+61=81，
而(63，81)=9，故9为最大可能值．
【小结】由余数切入进行讨论，是解决整除问题的重要方法．
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