小学教育网 发表于 2016-8-13 14:14:56

排列组合公式/排列组合计算公式

和213是两个不同的排列数。即对排列顺序有要求的,既属于“排列P”计算范畴。
       
          上问题中,任何一个号码只能用一次,显然不会出现988,997之类的组合, 我们可以这么看,百位数有9种可能,十位数则应该有9-1种可能,个位数则应该只有9-1-1种可能,最终共有9*8*7个三位数。计算公式=P(3,9)=9*8*7,(从9倒数3个的乘积)
       
          Q2:    有从1到9共计9个号码球,请问,如果三个一组,代表“三国联盟”,可以组合成多少个“三国联盟”?
       
          A2:   213组合和312组合,代表同一个组合,只要有三个号码球在一起即可。即不要求顺序的,属于“组合C”计算范畴。
       
          上问题中,将所有的包括排列数的个数去除掉属于重复的个数即为最终组合数C(3,9)=9*8*7/3*2*1
       
          排列、组合的概念和公式典型例题分析
       
          例1  设有3名学生和4个课外小组.(1)每名学生都只参加一个课外小组;(2)每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加.各有多少种不同方法?
       
          解(1)由于每名学生都可以参加4个课外小组中的任何一个,而不限制每个课外小组的人数,因此共有 种不同方法.
       
          (2)由于每名学生都只参加一个课外小组,而且每个小组至多有一名学生参加,因此共有 种不同方法.
       
          点评   由于要让3名学生逐个选择课外小组,故两问都用乘法原理进行计算.
       
          例2 排成一行,其中 不排第一, 不排第二, 不排第三, 不排第四的不同排法共有多少种?
       
          解   依题意,符合要求的排法可分为第一个排 、 、 中的某一个,共3类,每一类中不同排法可采用画“树图”的方式逐一排出:
       
          ∴ 符合题意的不同排法共有9种.
       
          点评   按照分“类”的思路,本题应用了加法原理.为把握不同排法的规律,“树图”是一种具有直观形象的有效做法,也是解决计数问题的一种数学模型.
       
          例3 判断下列问题是排列问题还是组合问题?并计算出结果.
       
          (1)高三年级学生会有11人:①每两人互通一封信,共通了多少封信?②每两人互握了一次手,共握了多少次手?
       
          (2)高二年级数学课外小组共10人:①从中选一名正组长和一名副组长,共有多少种不同的选法?②从中选2名参加省数学竞赛,有多少种不同的选法?
       
          (3)有2,3,5,7,11,13,17,19八个质数:①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商?②从中任取两个求它的积,可以得到多少个不同的积?
       
          (4)有8盆花:①从中选出2盆分别给甲乙两人每人一盆,有多少种不同的选法?②从中选出2盆放在教室有多少种不同的选法?
       
          分析 (1)①由于每人互通一封信,甲给乙的信与乙给甲的信是不同的两封信,所以与顺序有关是排列;②由于每两人互握一次手,甲与乙握手,乙与甲握手是同一次握手,与顺序无关,所以是组合问题.其他类似分析.
       
          (1)①是排列问题,共用了 封信;②是组合问题,共需握手 (次).
       
          (2)①是排列问题,共有 (种)不同的选法;②是组合问题,共有 种不同的选法.
       
          (3)①是排列问题,共有 种不同的商;②是组合问题,共有 种不同的积.
       
          (4)①是排列问题,共有 种不同的选法;②是组合问题,共有 种不同的选法.
       
          例4 证明 .
       
          证明  左式
       
          右式.
       
          ∴ 等式成立.
       
          点评 这是一个排列数等式的证明问题,选用阶乘之商的形式,并利用阶乘的性质 ,可使变形过程得以简化.
       
          例5 化简 .
       
          解法一 原式
       
          解法二 原式
       
          点评   解法一选用了组合数公式的阶乘形式,并利用阶乘的性质;解法二选用了组合数的两个性质,都使变形过程得以简化.
       
          例6 解方程:(1) ;(2) .
       
          解 (1)原方程
       
          解得 .
       
          (2)原方程可变为
       
          ∵ , ,
       
          ∴ 原方程可化为 .
       
          即 ,解得
       
          第六章排列组合、二项式定理
       
          一、考纲要求
       
          1.掌握加法原理及乘法原理,并能用这两个原理分析解决一些简单的问题.
       
          2.理解排列、组合的意义,掌握排列数、组合数的计算公式和组合数的性质,并能用它们解决一些简单的问题.
       
          3.掌握二项式定理和二项式系数的性质,并能用它们计算和论证一些简单问题.
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