小学数学解题常见错误分析：几何初步知识—长方体和正方体
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8．长方体和正方体
长方体和正方体是一类最简单的立体图形，小学阶段有关长方体和正方体的题多数是体、面积的计算题，表面积和体积不仅含义不同，计量的单位也不同。学生如对表面积和体积的含义理解不深，计算起来很容易相互混淆。另外堤坝和水渠土石方的计算看来很容易，由于学生生活经验较缺乏，也给理解题意带来一定的困难。
例 1
（1）一个正方体的棱长总和是24厘米，它的表面积是（ ）平方厘米；体积是（ ）立方厘米。
（2）一个正方体的金鱼缸，棱长4分米，如果把满缸水倒入另一个长8分米，宽 2.5分米的长方体的鱼缸，问水面可升到多少米的高度？
（3）正方体的棱长扩大2倍，它的体积扩大（ ）倍。
（4）一辆卡车车厢的底面积为4.8平方米。运送一种长方体形的包装箱，包装箱的棱长分别为0.6米，0.4米，0.5米，如果码放2层，这辆卡车最多能装（ ）个包装箱。
（5）东风乡挖一条长3千米24 米的引水渠，水渠的横截面是梯形（如
[解]（1）24，8。
（2）（4×4×4）÷（8×2.5）
=3.2（分米）=0.32（米）。（3）8。（4）48。
=12096÷302.4
=40（天）。
[常见错误]
（1）54，27或24，24。
（2）（4×4×4）÷（8×2.5）=12÷20=0.6（米）。
（3）6。
（4）40或32。
（5）长3千米24米化成324米，
[分析]
（1）题的第一种错误是把正方体的12条棱记成8条，所以得棱长3厘米，出现表面积是54平方厘米，体积是27立方米的错误；第二种错误是把表面积和体积混淆了。（2）题的错误是计算时误把4×4×4看成3个4得12。（3）题因为正方体体积是三个棱长相乘，所以误认为一个棱长扩大2倍，那么三个棱长就扩大6倍。（4）题的解答需要有一定的思考能力，因为层数已定而高度没有限制，那么每个包装箱底面最小装的就最多。包装箱可能有三种放法，一是底面为0.6×0.4；二是底面为0.6×0.5；三是底面为0.4×0.5。显然第三种放法每个包装箱所占的底面积最小，也就是说按第三种放法装得最多，这时能装48个。
（5）题是一道计算水渠土石方的试题，它的计算公式是用横截面积乘以长，横截面是一个梯形。在一般情况下，横截面的有关数量的单位与长的单位是不统一的，要注意化成相同的单位，此题的3千米24米应化成3024米；此题数字多而大且运算步骤多，容易发生计算错误；算式中中括号算出的即为水渠挖出的土方12096立方米，即12096方，所以最后的单位应为天。在体积计算中，单位也是最容易搞错的，不容忽视。
例 2
（1）用三个长3厘米、宽 2厘米、高 1厘米的长方体拼成一个表面积最
小的大长方体。这个长方体的表面积是（（2）把两个校长都是1厘米的正方体，合拼成一个长方体，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米。
（3）下图中1个小正方体木块表示1立方厘米，再添上（ ）个这样的小木块，就能垒成一个棱长是3厘米的正方体。
[解]（1）42平方厘米。
（2） 10。（3）13。
[常见错误]
（1）66或58或54平方厘米。
（2）12。（3）18。
[分析]
这几道试题主要考查学生的空间想象能力，解答起来有一定的难度。（1）题的一个长方体（如下左图）的表面积为（6+3+2）×2=22（平方厘米），三个长方体的总表面积是 22×3=66（平方厘米）；如果把三个长方体的③面相接拼成的长方体表面积为（6+3）×2×3+2×2=58（平方厘米）；如果把三个长方体的②面相接拼成的长方体表面积为（6+2）×2×3+3×2=54（平方厘米）；如果把三个长方体的①面相接拼成的长方体表面积为（3+2）×2×3+6×2=42（平方厘米），所以，最后一种拼法表面积最小，其他几种拼法均不是最小的。
（2）题忘记了中间相接的地方（如上右图）要去掉2个1平方厘米，所以误认为是12平方厘米。
（3）题的正确解答应是用棱长3厘米的大正方体所含小正方体的个数
（27）减去原有的小正方体的个数，而原有的小正方体是14个，而图中画出来的只有9个，其余5个被遮住了，如果想不到这5个就会出现27-9=18（个）的错误。
空间想象力的形成需要逐步培养，一般先通过直观训练，再过渡到抽象的想象。
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