数学演义第十回：近世数坛 基础理论成果绚丽 现代计算 实际应用前景辉煌
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第十回近世数坛基础理论成果绚丽
现代计算实际应用前景辉煌
高斯墓碑上画的是正十七边形图案。过直线外一点只有一条平行线吗？专刮脸的理发师不知自己的脸蛋该谁来刮。华罗庚说：“大哉！数学之为用。”海湾战争中，数学大显神通。
话说那18、19世纪，西欧的数学确实是轰轰烈烈红红火火，在几何、代数两方面都有了空前的变化，彻底地解放，两场大革命相继进行，令人目不暇接。现在先与诸位道一番几何的大变化。
要说这场变化，却与一个人有脱不掉的干系。你道是谁？那便是赫赫有名的数学王子高斯，卡尔·弗里德里希·高斯！他不但被公认为是19世纪最伟大的数学家，而且与阿基米德、牛顿并称为历史上最伟大的三位数学家！
小卡尔的故事无人不晓。从 1 连加到 100，如何简便地算，诸位肯定不止一法，觉得挺容易。不过诸位可都是老师教会的，而小卡尔是十岁时自个想出来的，这才真叫不容易。高斯晚年常常幽默地说，在他会说话之前，已经会计算了。神童和天才确实是不常有的。
高斯在1777年出生的时候，家境可是不太好。父亲是瓦工，对小娃娃读书没什么兴趣。但卡尔的母亲却鼓励他学习。小学的校长也很爱才，对他赞不绝口，推荐给不伦瑞克公爵。公爵搞了次“手拉手”活动，赞助15岁的高斯进了中学，18岁时又送他进哥廷根大学。
起初高斯对语言和数学都很感兴趣，犹豫不决不知学什么好。他决定为数学而献身是1796年3月30日的事。这一天，他找到了用尺规作出正十七边形的方法！两千年的难题解决了，卡尔知道自己是属于数学的。对这个发现他是如此的钟爱，所以后来留下话，墓碑上就刻这么个图形。
高斯用代数的方法找到了作法。进一步，他解决了全部情形：正多边形的边数是多少就能画出，是多少用尺规又作不出，被证明得妥妥贴贴。高斯的才能更进一步显示，20岁作出的博士论文令大家刮目相看，大跌眼镜，他竟然证出了代数基本定理，这个连牛顿、欧拉、拉格朗日等大师也难倒的定理！代数基本定理是说，几次多项式至少有一个根。
这位数学王子在天文学方面也有拿手绝活。同样还是很年轻的时候，他用新方法只根据很少的数据，算出了最新发现的谷神星的轨道。高斯不管做什么事都要好上加好，力求完美，所以很多成果就永远在他的笔记本上不露面。这其中有很多有着重要创见的思想，“非欧几何”就是一例。
什么是非欧几何呢？那还要从欧几里德的《原本》说起。《原本》是建立在有限的几条公理之上的逻辑构造的大厦，这是大家都知道的。从公理出发，能推出所有的定理，而公理本身就不能再往前推了，就把它当作不言自明的东西承认下来。
对公理体系也有个起码的要求。首先几条公理之间不能相互矛盾。其次，所用公理要尽可能少，不能把可以从公理推出的定理，也当成公理立在那里，也就是各条公理要相互独立。
在《原本》中一共有九条公理，比如说两点间有唯一直线啦，直线可以任意延长啦等等。其中有一条叫平平公理，欧几里德有点把握不住，觉得它像条定理，可就是没法证出来。没法子，还是把它作为公理，放在了其他几条公理的后面。而且，欧几里德在证前28个定理之前，一直没有用过这条平等公理，总想绕开它。
《原本》中的平行公理挺罗嗦，可以换成功效一样的其他说法，比如初中课本中是这么说的：
“过直线外一点能作一条且只能作一条和已知直线平等的直线。”把平行公理作为定理，试图从其他公理把它推出来，数学家们为此忙碌了两千多年。
有些人是从正面去证，直接证。当他们觉得大功告成获得“证明”时，再仔细检查一看，都用了新的假设，比如像“三角形内角和等于两直角”，“平面上存在着一对不相等的相似三角形”，等等。
这些新的假定都需要用平等公理才能证出，只不过将平行公理换了个说法。这样的“证明”就犯了逻辑循环的错误。
直接证劳而无功，就想到间接去证，用反证法。这样就先否定平行公理，然后从这个否定的前提出发，进行一系列推理，如果推出了矛盾，那么对平行公理的否定就不对了，就证明了平行公理。想法很好，咱们中学生都用这样的反证法。
但是用反证法推来推去，推不出矛盾。比如瑞士的兰伯特（1728—1777），将平行公理否定，最后推出三角形的内角和大于或小于两个直角。
有人说这不就产生矛盾了嘛？其实一点不矛盾，因为三角形内角和定理和平行公理是一码事，两者可以相互代替。你用反证法，假设平行公理不对，也就是假设过直线外一点不是只有一条线和已知直线平行，那么实际上也等于同时假定了三角形内角和不是两直角。
从否定平等公理，不但推出了三角形内角和的稀奇结论，而且还推出了其他一些和平常的几何不一样的定理，不过就是推不出矛盾来。
正面证不行，反证也不行，看来平行公理是证不出了。这说明平行公理和其他公理地位平等，谁也不依赖谁，相互独立。
这一点得到了许多人的承认，对平等公理就只能把它当成公理了，要想证明绝对没戏。但是在用反证法时，从平行公理的反面出发，却推出了一系列和欧氏几何完全一样的结论，把它们集中在一起，不就构成另一堆定理的系统吗？它们完全不同于欧氏几何，但却完全说得通，逻辑上站得住。
不同于欧几里德几何的新几何产生了，它是19世纪所有复杂伟大的技术创造中，最深刻但又是最简单的一个。确实太简单了，只要把平行公理换成它的反面，其他公理不动，新几何的基础就打好了，以后只需要进行推理，就能构造出非欧几里德几何的大厦。
要承认非欧几何是十分困难的，尽管逻辑上没矛盾，可心理上太难承受。你能相信三角和的内角和不等于180度吗？说破嘴皮你也不信，总觉得和经验不符，似乎我们生活的空间，天然地就是欧几里德式的。
咱们的生活空间，不一定是欧几里德几何所描绘的，不能先入为主。认识到这一点的在当时是凤毛麟角，在现在也不多。咱们平常的世界似乎用欧氏几何都能说得通。
而首先认识到这一点的，就是高斯。他这么说过：“我们不能证明我们的欧几里德几何具有物理的必然性。或许在另一个世界中我们能洞察空间的性质，但现在却不行。”伟大的天才高斯对非欧几何已经是明察一切了，但是他怕新的理论不被人理解，会受到起哄嘲笑，所以一辈子都没有公开发表的胆。即使别人已经提出来了，他也表示沉默。
那么又是哪一位功夫深湛的大师，有此伟大创造呢？他就是匈牙利数学家鲍耶·亚诺什。鲍耶的老爸与高斯是大学同窗，这位老爸也是位数学家，对平行公理证明了一辈子也没什么名堂。
鲍耶子承父业，又接手了这个问题。老爸知道了火冒三丈，立即写信训子，说你老爸早已苦头吃足，你小子要陷进去也没什么好下场。即使是牛顿在世，他也必陷入泥坑，坏一世英名。你小子赶快给我收摊，改练别的吧。鲍耶牛脾气一上来，心想我还就要干到底。1823年，他的思维突然打开，迸发了非欧几何的新设想。他写信给父亲说，“我已经在乌有中创造了整个世界”。
鲍耶在 1825 年基本完成了非欧几何学，后来的几年他央求老爸帮他出版，根本得不到同意。1831年，鲍耶给老爸说，咱干脆给高斯伯伯寄份论文，看看他怎么个说法。
论文总算到高斯老伯的手中，高斯看后大吃几惊！他回信给他的同学说，我真是吓坏了，贵公子所做的一切和鄙人三十几年前想的完全符合，称赞他等于称赞我自己。使我特高兴的是，这么一位出类拔萃惊世骇俗的人物，正是老哥你的儿子。
说实话，高斯写这封信时，心里恐怕也是酸酸的，谁让自己没那份勇气呢。却说信到得鲍耶手中，大大刺痛了满怀希望的他。他不相信有人会赶在他前面，觉得高斯老伯倚老卖老太不仗义。从此郁郁寡欢，58岁就去世了。再说这最完整、最先发表非欧几何的，却是俄罗斯数学家罗巴切夫斯基。
罗先生在22岁时，就着手研究这个问题。不久，他就意识到肯定存在另一种几何学，他把欧氏几何的其他公理照样采用，而对平行公理进行脱胎换骨，变成：过已知直线外一点至少有两条直线和已知直线不相交。
1826 年，罗巴切夫斯基 33 岁，正式宣读了非欧几何的论文。这位几何学上的哥白尼，又吓得教廷胡话连篇，总主教宣布他的学说是邪说，有人用匿名信谩骂他，种种花样不一而足。这一切正如高斯所预料到的。高斯写信给罗巴切夫斯基，表示十分钦佩。可是在公开场合他又装成个没事的人，从不多说一句话。
后来德国数学家黎曼（1826—1866）又创建另一类非欧几何，人们把它叫做黎曼几何。黎曼的体系中是这么替换平行公理的。
平面上不存在不相交的直线。即平面上不存在平行线。
“19世纪最有启发性，最重要的数学成就是非欧几何的发现”，大数学家希尔伯特的评价是绝对权威的。除了打破了欧氏几何的一统天下，打破了对欧氏几何的盲目崇拜以外，非欧几何的建立使大家对公理和公理建立起的体系有了更清楚的认识。
一组公理，只要彼此独立，互相无矛盾，就能在这个基础上进行推导，建设新体系。哪怕这其中有些公理似乎是很叫人吃惊，很有些不习惯也不要紧。这么一来对数学家的工作方法、方向都产生了很大影响。
大家都知道怎么去系统化一门数学了，就是先找出一组公理，然后通过推理头头是道推出其他内容。把数学的各个分支都弄成一个个公理的体系，就是数学地公理化思潮，非欧几何在这场变化中的作用是很明显的。首先是对欧氏几何严格公理化。欧氏的《原本》虽然也说得头头是道，但有很多缺点。比如那第四条公理，“凡直角都相等”是可以证明的，不能算公理，不独立。再说对一些基本的概念，比如说“点、线、面”，没有和一般的概念区别开来。一般的概念都从它们出发来定义的。而基本概念本身就不能下定义，否则会造成逻辑上的麻烦，闹不好会循环定义。
正是这么一考虑，德国大数学家希尔伯特在 1899 年出版了《几何学基础》，使得欧氏几何严格地公理化了。“我们必须能够用‘桌子、椅子和啤酒杯’，来代换点、线、面”，希尔伯特的这番话倒不是说去研究什么啤酒杯，而是说点、线、面不能再给出什么定义了，应该作为原始基本概念，所以不管换成什么名称也无所谓。
这一来，数学就更抽象，但是概括包含的内容就更多。这种着重于对象之间的关系和结构，但是并不把对象看作是某一些具体的东西，确实是数学中更高明的一步，一种划时代的进步。
同样的进步在代数中也在进行着。
比如，乘法有结合律，加法也有结合律，咱们把这条共性抽象出来，就有这么个式子：
（a*b）*C＝a*（b*c）
式子中那“*”号，就代表了一种更一般的运算，比如可以认为是乘法，也可以认为是加法，不过不能是除法。这式子中的a、b、c可以是各种各样的数，也可以是多项式。
更进一步，a、b、c甚至于可以和数没有一点关系，而表示另外的对象。比如，看作是拨钟的一个动作，可以顺时针拨几个小时，也可以逆时针向后拨几个小时。那么a*b中，那个运算“*”又看作什么呢？可以看作是先进行拨钟的动作a，然后再进行拨动动作b，是拨的顺序。
这样一来，a、b、c 就是多种多样的向前或向后拨的动作。有没有结合律（a*b）*c=a*（b*c）呢？当然有。因为只要a、b、c固定下来，先做哪个动作都不打紧，最后结果是一样的。
这就是十九世纪经过革命的代数所具有的特点。不但符号代表的对象可以更广泛，五花八门；而且更着重“代数结构”。不管什么对象，什么运算，只要符合相同的规律，就认为是同一种代数结构。
上面的那种代数结构都有结合律，咱们就把它叫做“半群”。而首先将代数结构提上数学日程的，就是法国天才数学家伽罗华（1811—1832）。而提到伽罗华，也必定要提起挪威的阿贝尔（1802－1829），他们都像在数学天空中闪电般的流星，发射出早期的异彩，后来又都不幸夭折，而死后才有天才这样的评价。
阿贝尔一生道路坎坷，郁郁不得志。这倒霉的命运从一出生就伴随他，从小就受穷，连病都没钱去治。13岁时到一所教会学校学习，本来对数学是不大感兴趣的。正在这时，来了一位好老师，年轻热情，叫洪保。
洪老师很快发现阿贝尔是块学数学的料，立刻对他格外关心，送一些书让他自学，还经常在一起讨论当时名家欧拉、拉格朗日的著作。阿贝尔立誓要解决五次方程的根式求解问题。
原来自卡当、塔尔塔里亚解决了三次方程的求根，卡当的学生解决了四次以后，五次方程的求根公式却一直没有得到。
数学大师拉格朗日（1736—1813）想了不少高招还是攻不下来。1821年，19岁的阿贝尔到克里斯蒂大学上学，学识大进更想一展身手。
一开始他认为已经得出了五次方程的求根公式。后来再检查一下，发现了错误。连遭挫折，阿贝尔反复琢磨，悟出很可能根本就没有这样的求根公式！经过艰苦的努力，阿贝尔终于证明了用公式解一般的五次方程是不可能的。论文发表后，阿贝尔小小地发了点财，拿到一些钱，允许他到欧洲大陆去旅行。他从法国到德国，遍访名家，谁也不把他当盘莱。他再把论文寄给哥廷根的高斯，希望能“一识韩荆州”，结果还是不理不睬。
阿贝尔一气之下直奔柏林，不去哥廷根了。在那里他十分幸运地结识了工程师克雷尔。克雷尔慧眼识英雄，甘当了一次人梯，特地办了个刊物让阿贝尔施展。这本杂志叫《纯数学和应用数学》，后来都叫它是“克雷尔杂志”。阿贝尔在第一卷上就发表了五篇以上论文，头几期一共登了22篇。杰出的成就，终于使大家刮目相看。
1827年，阿贝尔回到挪威。谈不上衣锦荣归，却依然是一贫如洗。这时他又得上了肺结核，真是屋漏偏逢连阴雨。第二年，四名法兰西科学院院士，紧急致信挪威国王，请他为阿贝尔创造点外部环境。
可是阿贝尔也撑不了多少天了。1829 年 4 月的一天，他永远闭上了眼。可是才隔三天，却又接到了柏林大学的聘书，他是再也没法应这个聘了。再说阿贝尔得出五次方程的结论以后，引起了许多人的注意。内中有一位后生小子，还是个17岁的中学生，就接着阿贝尔没有做完的事情继续做下去，彻底解决了方程求解问题。
此人是谁？他就是数学史上有名的青年才子伽罗华（1811—1832）。伽罗华的生命比阿贝尔更短、更悲惨。他是巴黎附近一个小镇镇的孩子。12岁上中学，有些老师给了他“朽木不可雕”的评语。过了三年来了位数学教师范厄尔，慧眼识英才，指导小伽罗华自学了许多名家巨作。刚过15岁，伽罗华就显示出非凡的数学天才。
眼看着就要进大学，小伽罗华信心十足，两次报考重点院校名牌大学——高等工艺学院，两次名落孙山，他满足不了考官们的死板要求。伽罗华坚持不懈，终于在1829年进了师范学院，准备当个教师，吃口安稳饭。
在考上大学之前，中学生伽罗华就开始研究方程论啦。这时，年轻的阿贝尔成功的消息传来，伽罗华大为振奋。继而觉得还有不少问题需要解决，“阿贝尔的杰出成就轰动世界，但他还没有解决哪些方程可以用根式求解，而哪些不能。”
比如说，一般的五次方程是不能有求根公式了，但一些具体的五次方程，
阿贝尔当然也想过，什么条件下能有根式求解，但苦苦思索终不可得。
绝代天才伽罗华既找准了这个问题，就倾注全力攻坚。恰在此时，他又遇到一位高手里查德，伽罗华受此人指点，才能充分释放出来。1828年，这位17岁的中学生彻底解决了代数方程有根式解的条件问题，取得了划时代意义的成果。大家可能会问，一个方程的解的问题，又如何称上划时代？
原来，伽罗华在研究这个问题时，发现了“群”这种代数结构，创立了“群”的研究，这才真正是革了一次命，划了一下时代。
“群”是一种重要的代数结构。除了要满足结合律以外，还要再加上一些条件。所以“群”这种结构就是在上面说过的“半群”的基础上再添几条。
添的条件倒也一般，第一条是算的对象里要有一个元素，叫做单位元，不管其他什么元素和它进行运算，仍然不变。也就是 a*b＝e*a＝a，这 e 就表示那单位元素。
当然，运算不同、运算的对象不同，这单位元e也不同。比如在乘法里，e当然是1；在普通的加法里e＝0，因为这时候运算“*”代表“＋”，a＋o＝o＋a＝a嘛。而如果 a、b、c 等等表示拨钟的动作，那么 e 就是把钟拨上十二圈，十二小时这么个动作。你想想，假设a是把钟拨到四点，这一个动作。那么a*e就是先拨到四点，再拨十二圈，不还是四点，还等于a嘛：a*e＝ｅ*a＝a。
群，还要添上一个条件，虽然也简单，咱们也不打算再多絮叨。千句并成一句：群是近现代代数学的中心，是一种重要的代数结构。
降了群这种代数结构以外，其他还有环、域、格，等等。
年轻的中学生伽罗华就是发现了置换群与代数方程之间的关系，他用群这种强有力的数学工具，非常清晰非常简单地一举攻克了方程的根式求解问题。
伽罗华为他的发现欣喜若狂，立即把论文寄给法兰西科学院。1828年6月1日，科学院举行例会。主审伽罗华论文的，是当时的数学大权威柯西（1789—1857）。众位德高望重的先生正想看看这位乳臭小子搞点什么名堂，可是柯西打开皮包，双手一摊，说对不起，那篇论文找不到了。
过了两年，伽罗华将论文精心修改，再交法兰西科学院。这次决定让老院士、数学家傅立叶（1768—1830）审查。可是还没等到开会，傅先生撒手西归，伽小子的论文又一次下落不明。
伽罗华总觉得“事不过三”，就第三次再送出自己的成果。这一次总算有了审查意见，著名数学家泊松（1781—1840）花了四个月时间看稿，最后签上了“完全不可理解”几个字。曲高和寡，连权威都不解其中奥妙，可见伽罗华领先了多少步！
此时的伽罗华在大学上学，卷入了大革命的浪潮，学校把这位不安分分子开除了，还坐了几个月的牢。出狱不久，晦气还未除尽呢，他的情敌又提出挑战，要和他决斗。
决斗前夕，伽罗华料定难逃此劫，要知道对方是位帝国的小军官。所以伽罗华就匆忙将自己的笔记、论文手稿寄给好友，托付后事。
决斗的场面，非在下之秃笔所可描绘，无非是赳赳武夫，翩翩公子，枪来弹往，血肉模糊。那赳赳武夫是死是伤咱倒不必管他，只是可怜的罗华却伤重不治，24小时后闭上了眼，时年21岁。
过了 14 年，1846 年，法国数学刘维尔（1809—1882）在整理各种遗稿时，惊异地发现了伽罗华的思想。他把伽的论文发表在《数学杂志》上。直等到1870年，离伽罗华的发现已经40多年了，他的成就才得到充分肯定。人们掸去了埋在明珠上的厚厚尘土。
代数在更抽象、更有用的方向上发展。和几何的解放同时，代数也得到了真正的解放。这种解放就表现在对代数结构的承认，对代数结构的看法。
比如说人们规定一种代数结构，其中的“乘法”，没有交换律，也就是a*b不等于b*a，那么你会怎么看？你肯定很不习惯，或者认为是胡说八道。
当年哈密顿（1805—1865）就遇到过这样一种巨大压力。大家就像责问几何中怎么会有不等于 180°的三角形一样，也非常地愤怒代数中还有什么交换律不成立的运算。
出于实际的考虑，哈密顿给出了这样一个乘法表，这里一共有四个元素l、i、j、k。任两个数相乘，能从这张表中查出来。比如i×j=k，j×i=k。
看清楚了吧？i×j≠j×i！没有交换律的乘法！据说，这是经过他 15年的冥思苦想，站在都柏林的一座桥上想到的。连他自己都被这种离经叛道突破传统的思想给震住了，就把这张乘法表刻在桥栏杆上，看看这个不同凡响的怪物到底是咋回事。
其实，代数结构的几条规定，和几何体系中的公理差不多，都有某种随意性，不能只是一种。几何中的公理换了，就得到不同的几何；而代数结构中规则和算律换了，就得到不同的代数结构。
这么一种思想渐渐深入人心，大家便见怪不怪，不满足交换律的代数越见越多。英国数学家凯利（1821—1895）在 1857年就对矩阵设计了一种“乘法”，规定了一种“乘法”，这种“乘法”就没有交换律。
近世的代数学就这样慢慢形成了，这是自从符号以来，代数学的第二次革命，第二次解放。
第一次革命，是符号的大量使用，使得初等代数成为科学的独立的基础（古希腊那会代数是几何的附庸）。第二次革命，就是高等代数学的开始。
两者的区别那是高山和平地了。
初等代数是高度计算性的，要讨论运算也只是常见的四则运算，运算的对象不是有理数就是实数，再不就是复数，都是具体的。
高等代数学是概念性的、公理化的，就拿咱们给大家介绍过的“半群”这种代数结构来说，那里的运算对象a、b、c可不只是数，而是任什么都行，都可以。而运算也可以由你来规定。
今天，代数学的影响十分巨大，不管哪一个数学分支不会没有代数的思想，它给全部数学提供了有力的工具。而且各种自然科学、经济学都要用到代数。
除了几何和代数的大革命、大变化，19世纪还发生了第三个有深远意义的数学事件，这就是微积分的基础严格化、精确化。
咱们在前面给大家说过，微积分初创之时，有两个麻烦，其中一个给牛顿—莱布尼茨解决了。另一个麻烦却一直没解决，起码是没彻底解决。什么麻烦呢？就是基础不紧密，不稳固。
比如在牛顿老前辈那会儿，求微分时通常都给自变量一个小小的增加，叫做自变量的无穷小量。有时候，他把这无穷小量不当作零，去做除数；有时候，他又把这无穷小量当作零，在计算中舍去。反正怎么有利怎么干，但是结果却总是对的，弄得大家都挺奇怪，挺纳闷。
可大伙当时都忙着把微积分的大厦朝大里、朝高处扩展，那顾得上这基础！这倒正好倒个身，先盖房，后打桩。其实这在科学发展上却并不奇怪。
一开始是打天下，要不受束缚天马行空，这时就讲严格，往往限制了思想。等到一门学科成熟了，该暴露的矛盾都暴露出来了，那就该给它立立法啦！
用严密的逻辑规范它，最好整出一个公理体系来！
那么这无穷小量到底是怎么回事呢？是把它看成“零”，还是看成“非零”？回答倒挺古怪：既不是“零”，又不是“非零”。此话怎讲？
原来，“零”也好，“非零”也罢，都是常数，而无穷小量乃是一变量，在无穷地变化下去。比如咱们前面提过的，阿基里斯和乌龟距离是：
100，10，1，0．1，0．01，0．001……
它就是一个无穷小量，可以用一个字母表示，比如用 A。那么这 A 现在就是一个变量，而 A 将无穷变下去，变化的趋势是零，这样我们就说变量 A的极限是零。
所以极限就是看变量变化的趋势，是一种涉及到无穷的运算，新的运算。微积分中处处要遇到无穷，处处就要用到极限运算。它是微积分的基础。
首先认识到这一点的是达兰贝尔（1717—1783），他在1754年就准确地指出：需要有严格的极限理论。说归说，做归做；这一件重要的“打桩工程”，又过了70年才有眉目，那是法国大权威柯西的功劳了。尽管他对伽罗华是不识英才，不过这件功劳还是要说一番的。
当然，柯西定义极限是比较严格的，不像咱们上面那样，列一串数，请您看看变化趋势，然后就下结论，说有极限或者没有极限。
那样做太直观，很生动。但是不严密，容易出错。柯西就用了数学的语言，用不等式来刻画整个极限过程。
后来又过了50年，德国数学家魏尔斯特拉斯在1874年又提出来，柯西的极限理论，那“打桩工程”做得不彻底，基础没打牢！真正的基础是实数理论！
这又是何意思呢？咱们先看下一列数：
1，1．4，1．414，1．4142，1．41421，……
如果无理数没有明确的地位，那么许多极限都不知结果到底是个什么东西。所以魏尔斯特拉斯提的很对，极限的基础在实数理论，准确地说，在无理数的定义上。大家在初中见过无理数的定义吗！没有，那时只不过列举了一些无理数的例子而已。
那么究竟如何定义呢？咱们知道，有理数是由整数发展而来的，而有理数就由整数来定义：两个整数之比。用旧的数定义新的数，这是完全可以的。
所以数学家们，就用有理数来定义无理数。这个工作比较艰苦，由魏尔斯特拉斯（1815—1897）、戴德全（1831—1916）、康托（1845—1918）完成了。这三位都是德国数学家，都是在两个世纪之交时做出了伟大贡献的。他们的基本思路都一样，要给无理数一个明确的“说法”。而戴德全和康托，做的就更严格一点，严格地用有理数来定义、或者说来产生无理数。
无理数得到了定义，整个实数就严密了，而极限的基础就巩固了。一场由于无穷小问题，由于无理数的地位而引起的争论，也就是平常所说的第二次数学危机，得到彻底解决。
说起来，魏尔斯特拉斯是大器晚成的人。他年青时代研究的是法律、经济，很迟才开始搞数学，而且还是个中学的教书匠。看来一辈子只能弄弄初等数学了。一般认为，要成为第一流的数学家，必须很早就开始进行数学研究，不能老泡在初等数学里解五花八门的题。
但是魏尔斯特拉斯却打破了这个一般！虽然他40岁才到柏林大学，过了八年才当上教授，但他照样在高等数学上做出了杰出的成就。而且书教得更好，是世界知名的高等数学教师。更被称为“现代分析之父”。
和魏先生相比，康托的人生是另一番的色彩。这位处于世纪之交的伟人，做了一件可以说让数学转入新世纪的工作，开天辟地。
康托出生于俄国的一个丹麦—犹太血统家庭。后来全家从圣彼得堡迁居法兰克福。老爸让他学工，所以在1863年他18岁时，进了柏林大学，这一下可真是如鱼得水，他得到魏尔斯特拉斯高明的指点，对数学的兴趣更浓了。
四年后的博士论文中就有了“离经叛道”的观点了，他认为，在数学中提问的艺术比起解法来更重要。
康托在1869年到哈勒大学教书，过了十年提升为教授，一直到去世，都在这工作。倒不是康托想在这小地方混一辈子，他也很想在柏林找一个钱多一点的、声望高一些的教授职位。
但是那位柏林的大权威克罗耐克（1823—1891）处处跟他为难，跟他过不去。原来这位克老头对康托的成果很难接受，许多东西和他脑瓜里的传统背道而驰，完全相反。这自然引起他的敌视。
这位克老头粗暴地攻击康托的思想，整整十年他都没放松过。弄得康托精神崩溃，常常住病院。虽然在1887年好了一阵子，恢复工作了，可是后来又不灵了。1918年1月6日，康托在哈勒大学附近的精神病院中去世。
那么康托的惊世骇俗之论，石破天惊之语，究竟是所说何论，所论何事呢？
说起来倒也无啥稀奇，那方法就是古人数数时就用过的“一一对应”！啥叫“一一对应”？比如班上有 40 名学生，40 个位子，那么一人一位；反过来，一位一人，这就叫一一对应。如果哪一天位子多出来两个，就知道人少位子多了，两者不一样多。
如此说来，此方法很好改革，经常用。可是如果将这方法用好用活一直用下去，却有了想不到的结果。我们将话题再拉到伽利略身上。
大家应能记得，伽利略老先生曾有如此一说：
“平方数的个数不小于所有数的总数；所有数的总数也不大于平方数的个数。”
所有数，就是所有的自然数，即 1、2、3、4，……等等，有无穷多个。
而平方数，即指
……等等，伽先生之意，是说这两部分数完全一样多！这可是亘古未有之论！要知道，平方数是自然数的一部分；1，4，9，25，……自然数的一部分，竟然和自然数的全体一样多，岂非大大出人意外？“部分小于全体”，这是举世公论的原则，欧几里德在《原本》中，更把它列为公理之一，为何伽利略竟反其道而行？
那么伽利略为何有此结论？是否故意出此出人意外之狂言以招摇天下？非也。伽利略是有根有据的。根据就是“一一对应”。请看如下两者之间的一一对应：
两者之间，每个数都对应着对方唯一的一个数，就像坐位子，一位一人，反过来，也一人一位，位子与人完全一样多。如今看来，平方数与自然数也是这番情境，结论自然不言自明：两者一样多！
结论既得，则“全体大于部分”的公理顷刻瓦解。原来，这条原则在对象只有有限个时，是完全对的；而一涉及到无穷，就有时对有时不对了。而自然数全体、平方数全体都是无穷。
比如说，自然数全体1到100这一部分相比，仍然是“全体大于部分”，因为两者之间不能一一对应。但是若是伽利略所说的情况，那么这条以前的“公理”就不“公”了。这“公理”时对时错，当然就不能再姓“公”，这是进入无穷世界后的又一大发现。
这无穷世界的方方面面就是如此的不同，绝对能让你留连忘返，乐不思蜀。当年的康托大师就是因为发现了这无穷的奥妙，不禁万分惊异，连自家也不相信，更使那些权威粗暴猛烈地攻击十年。
康托早期对微积分的基础很有研究。继而他对“无穷点集”作了描绘。什么是点集呢？就是点的集合。集合这个概念现在或多或少大家都了解一点。而康托就是集合论的奠基人，独创者。一个独行天下，独领风骚，这在数学的发展中倒是不多见的。
康托称，集合是一些确定的、彼此不同的东西的总体。比如，某人书包中书的全体，可构成一个集合；太阳系中所有行星，亦可成一集合。此外，全体自然数，全体平方数，某个二次方程的根，等等，都各自能构成一个个集合。而组成集合的“东西”，康托把它叫做集合中的元素。
紧接着，康托决定讨论一下集合中元素多少的问题。康托在这里抓住了比较多少的关键：一一对应。这可是每个平常人都经常用的，可你自己还浑然不觉。
比如，你到店里买十根铅笔，这买的铅笔自然也能构成一个集合。那你怎么能知道这个集合中的元素有多少？有人说，那太简单了，一根一根数呗，数完了是几，就是多少根。
告诉你，你这时用的就是一一对应！为什么呢？因为你在数第一根时，嘴里说了个“1”，再数下一根，跟着说个“2”，……，这么数着说着，就是把买的铅笔和从1开始的自然数“一一对应”起来了！
数完了，就在铅笔的集合，和数的某个集合之间建立起一一对应关系。这时，咱们当然可以说两者的元素一样多！于是你也就知道买了几根铅笔。
平常的道理，人人都用，可就是熟视无睹！而康托就把这其中的道理一总结，再一推广，就得出了惊人的发现。康托认为不仅有限的集合用一一对应可以知道多少，而且元素无限多的集合更要用这种方法，正如伽利略问题一样。这样，他就把两个能够一一对应的集合称为有相同的“势”，意思是一样“多”。
运用这一思想，康托发现，有理数集合与自然数集合等势！也就是两者元素一样多！这可真是个惊人的发现！要知道，在数轴上有理数密密麻麻地分布着，要多稠密有多稠密；而自然数却稀稀落落，还只在数轴的右半部！
请想一想，每一个自然数周围，不简直就有无数多个数也数不清的有理数吗？
但是经过康托用一一对应的巧妙办法，确实使有理数与自然数集等势！只要看看这张图，我们会发现，所有的正有理数都在这个陈列中，第一行是分母为1的有理数，第二行是分母为2的。也不是说，现在证明了所有正有理数与自然数集一一对应！那么全体有理数，即再加上负有理数和零，还能做到这一点吗？这也不难，只要在每个正有理数旁边，添上那个负的即可：当然，在最前面先加上 0，这样所有的有理数就有规律地排成了一列，也就是和自然数集一一对应！说明两者“等势”，或者说“一样多”！有人会说，因为这两个集合都是无穷多元素，所以别费劲我就清楚，凡是无穷都一样多。这么说你可就大错特错了！康托进一步证明了，自然数和实数，就建立不起来任何一种—一对应关系。当然，这是用反证法来证明的，因为你要说明任何一种一一对应的关系都不存在、最好的办法就是用反证法。
这就说明了，无穷与无穷是不同的。实数要比有理数、自然数高一个层次，因为“势”不相等。而有理数、自然数是同一个层次的无穷。
康托就是这样一位给无穷世界分出层次的立法者，其中最低一个无穷的层次，无穷世界中“势”最小的，就是自然数集、有理数集。
康托说，如果自然数集的势用d表示的话，那么有理数集的势当然也是d，但实数集的势可就大于d了。他进一步证明，有一级比一级更大的势，无穷的阶梯就这样给他找出来，证出来了。
接着，他又引进了基数和序数的理论，惊人的创造，卓越的证明一项接一项。他一个人就这样从1874年29岁起，一直写到1897年，完整地独立地建造了整个集合论基础。他的成绩是这样巨大，工程是如此宏伟，结论是如此惊人。当他得出、证出一些结论时，他写信给戴德金说：“我惊呆了，我简直不能相信它。”
他惊呆在何处呢？原来他证出了，一条线段上的点与一条直线上的点一样多！这只要看一看下页的图就能明白，圆周上的点和直线上的点建立了一一对应关系。更进一步，他证明了，线段上的点，直线上的点，平面上的点，整个地球的点，统通一样多！真是令人目眩，吃不消！
不过咱们可要给大伙说清楚，康大师可是规规矩矩用一一对应的方法给你证明出来的，不是乱说，更不是说凡是无穷都一样。
尽管有人竭力反对，正像人们后来所说的，这些思想和想法是如此的革命，不遭到反对那倒是个奇迹，然而，许多卓越的数学家深深为之感动。戴德金、魏尔斯特拉斯、希尔伯特，他们都勇敢地支持捍卫康托的集合论。
希尔伯特（1862—1943），这位20世纪的大数学家，对他本国同行的伟大创造赞不绝口：“没有人能把我们从康托为我们创造的乐园中开除出去。”希尔伯特的赞美到了无以复加、最高级的水平：“这是数学思想的最惊人的产物，在纯粹理性的范畴中人类活动的最美的表现之一”。
大哲学家罗素把康托的工作说成是“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。”
确实，集合论的创立为整个数学奠下了基础。今天的数学，每一个分支都把集合论作为第一块基石。就是以前的一些老概念，人们用了几十年几百年了，也用集合论的语言和思想再改造一下，重新包装一番，果然是美伦美奂，思想更深刻，形式更简约。
1900年，新旧世纪之交，数学已经发展成一个庞大的领域，一切都井井有条。特别是经过希尔伯特提但的公理化运动，他的《几何基础》的出版，每个分支都可以如此这般的公理化一番，整得有板有眼。而它们的共同基础当然是集合论。
可正当其时，集合论却出了问题，出了大问题，整个数学界大为震动，数学史上第三次危机爆发了。
什么大问题呢？就是出现了自相矛盾怎么也说不清的悖论。当时，德国数学家弗雷格（1848—1925）已经完成关于算术基础的两册巨著，这可是整个数学的基础工程。而罗素恰恰在这时候把发现的悖论告诉了他。
弗雷格懊悔不迭：“一个科学家遇到的最不痛快的事莫过于：在工作完成时，把基础丢弃。在这部著作即将付印时，我收到罗素先生的信时就是这么尬尴。”
那么罗素发现的集合论悖论是什么样的呢？他自己在 1919 年曾经这样通俗的说明了遇到的悖论：有一个村的理发师宣布，他给所有不给自己刮脸的人刮脸，并且只给这些老爷们刮脸。
现在对理发师自己的脸蛋就发生了极大的矛盾。假如他给自己刮脸，按照原则，作为理发师他又不能给自己刮；而假如他不给自己刮，按照规定，他又得给自己刮脸。
刮也不行，不刮也不成，理发师就这么僵着！当然这著名的理发师悖论只不过用来形容集合论中的类似情况。而自从在集合论中发现悖伦，陆陆续续又弄出不少。康托本人已早有发现。
矛盾到底如何解决，一时没了个主意。后来大家想一想，觉得康托一开始对集合的定义不严密，这是产生矛盾的根源。正本清源，就需要用公理化的方法来进行治理整顿。
1908 年，由策梅罗（1871—1953）首先提出了一个集会论的公理体系，后来又经弗兰克尔的改进，现在就把这叫做ZF公理集合论。
咱们在这说说谈谈，转瞬已有百年光阴，从19世纪进入了20世纪。这百多年间，中国数学又如何发展？
同学们自能记清，从徐光启开始慢慢输入西洋数学，中国的数学家正想看看“外面的世界”，喝点牛奶，不料里面的一切却“很无奈”，雍正爷关上窗户叫了个暂停。
直到鸦片战争大炮轰开国门，这才开始了西洋数学输入的第二次浪潮。从此，中西数学合流，并逐渐开始现代数学的研究。简单一句话：与国际接轨。
这第二次浪潮中的两员主将，就是李善兰、华蘅芳。
李善兰（1811—1882）是浙江海宁人。十岁时看了《九章》，自此就喜欢上数学啦。二三十岁的时候就很有名气了。1852年他来到上海，用八年时间和英国人伟烈亚力一起，翻完了《几何原本》、《代微积拾级》、《代数学》等许多科学书籍。
《代微积拾级》是中国第一部微积分的译本。当年在上海印刷时，没发电厂，只好用牛来带动印刷机。所以那圈内人士也就苦笑笑来点黑色幽默，说老牛你咋跑错了地方不耕陇亩却耕起了书田。
李善兰生于晚清乱世，列强环顾中华，当然要探索强兵富国之道。他曾经十分感慨地写道：“呜呼！今欧罗巴各国日益强盛，为中国边患。推原其故，制器精也；推原制器之精，算学明也。”李善兰也有一定道理。
李善兰在素数论和级数论方面都有卓越的成就。他发现的恒等式被西方称作“李善兰恒等式”，驰名宇内。
中西两大数学潮流终于会合到一起，这部演义也快煞尾。
概而言之，以《原本》为代表的西方数学和以《九章》为代表的中国古算，代表两种不同的倾向，逻辑倾向和算法倾向。
逻辑倾向着重概念与推理，算法倾向以机械的思维方式、程序化的步骤为特色。世界近现代数学史上，各个时期的倾向也各有侧重。大致来讲，新方法的发明、新学科的创建时期，以算法倾向为主；等到成果不断涌现，需要总结归纳，又转入了逻辑倾向。
两种倾向各有优劣，不可偏废。就最近四百年而言，经历了一个“算法——逻辑——算法”的循环，目前正处于算法倾向东山再起、日趋重要之际。17、18世纪微积分发明时，那新方法、新思想刚刚出现，各路豪杰纷纷一试牛刀，只顾用得畅快，那管得有没有矛盾！这时自然是倾向于算法。
18世纪初叶，从柯西、魏尔斯特拉斯诸家对极限论严格化开始，到康托“集合论”，布尔伯特公理化的提倡，又转入了新的演绎时期，使得数学在新的逻辑框架内活动。
上世纪40年代，轰然一声巨响，人类历史上最伟大的发明——电子计算机在美国诞生。不到50年，竟然遍及各领域各学科各环节和地区。其普及速度之快，影响之大，无哪一项发明可与这相比。由此，算法倾向抬头，已成为这一个世纪之交的新特点。
“四色问题”的证明是计算机的胜利，更是以算法为内容的计算数学的胜利。所谓“四色问题”，是在1852年提出的世界级难题，它要求证明，任一张平面地图，总可以用四种颜色区分相邻的国家地区。
一个世纪以来，多少人对此问题都久攻不下，1976年，美国伊利诺大学的阿贝尔和哈肯宣布：他们在电脑的帮助 F，把世界级难题“四色定理”证出来了！数学界大大震动，邮政局专门发行了纪念封、纪念戳。它的划时代意义就在于：机器和计算进入了被看作自由发挥天地的证明领域。今天，计算已和实验方法、理论方法鼎足而立，成为第三种科学方法而引入科技界。
今日之数学，不但是科学，也是能产生直接效益的技术。“大哉，数学之为用”，这是早在1959年，华罗庚教授发出的赞叹和感慨。他精彩地叙述了数学在“宇宙之大、粒子之微、火箭之速、化工之巧、地球之变、生物之迷、日用之繁”林林总总、形形色色诸多方面的应用。
有人说第一次世界大战是化学战（火药），第二次是物理战（作战军械、原子弹），而当今的战争就是数学战。
海湾战争期间，美军远涉重洋，大批人员和物资仅短短一月就调运到位，是由于采用了运筹学和优化技术，运用了遍布各地的计算机网络。再看那电子对抗，敌我模式识别，其中也时时离不开数学。
美国在进攻伊拉克前，对伊方点燃油井造成的后果捉摸不透，遂就教于某头脑公司研究此问题。该公司找出数学模型，进行一系列模拟计算后得出结论：大火将造成重大的污染，波及一系列地区，但不地造成全球性气候变化，不会对生态和经济系统造成重大损失。这才促成布什下决心，刮起“沙漠风暴”。
而当今诺贝尔经济奖，更是数学一试拳脚的好去处。从 1969 年到 1981年间颁发的13个诺贝尔经济学奖中，有七个获奖工作是相当数学化的。不懂数学，就不懂经济学。
大哉，数学之为用！数学作为一种文化，对人类精神的熏陶、人类素质的培养，更在不知不觉之中显露其至大至深。从 19世纪始，到二战时期，全球有影响的数学家中，德国约占43％！而且不乏诸多大师级人物！因此，我们对德国人惯有的那种严谨认真、一丝不苟的作风，应当是不奇怪了。
几千年数学风云，缩于数20万字演义之中。兴衰交替的史实，正凸现出数学思想的演变。在此世纪交替之时，我们想起上一个世纪之交时的那位大师——希尔伯特所说的话：
我们必须知道，我们必将知道。
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