数学演义第七回：刀光剑影 竟从方程求解引起 冲天巨浪 却由文艺复兴开辟
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第七回刀光剑影竟从方程求解引起
冲天巨浪却由文艺复兴开辟
欧洲一觉睡醒，拼命地搞知识进口。一位自学成才的数学家正为自家的发现洋洋得意，却险遭杀身之祸。使代数从几何中独立出来的韦达，不料还是破密码的能手。现代数学的帷幕正徐徐拉开……
且说上回书中所说的那块地域，即现如今之欧罗巴洲，欧洲是也。
这西欧一块，现在是所谓“花柳繁华地，温柔富贵乡”了，算是个好去处。孰不知两千年前，当几大文明盛极一时之际，今天的欧洲一带只有原始的文明。住在那里的日耳曼人既没有文字更没有文化，是个“发展中国家”，“第三世界”。
后来发展了千把年，也还不能和咱中国一比。那时的大唐、大宋，早已是繁华昌盛，万邦来朝，俨然是世界文明的精华所在。
欧洲人自己说的幽默：当东方人穿锦戴银的时候，咱们老祖宗还围着树叶在树洞里呆着呢。
正所谓“三十年河东，三十年河西”，沧海桑田，如此而已。
那英法一带，虽早在罗马新闻社国统辖时就获得一些文化，但直到公元500年，新的文化影响才开始在欧洲起点作用。
不过，这新的影响一开始却是不大妙。从公元5世纪中叶到11世纪，这六、七百年时间，是欧洲的黑暗时代，万恶的旧社会。那时，学校教育名存实亡，希腊学问几乎绝迹。
要说有文化，也都在教会的修道院内。大部分的文化人都在院墙内研读圣经，侍奉上帝。就是墙外剩下的几个，又怎敢大胆妄为，离经叛道？大家都得统一在教会的权力下。
好像还是那么个理：圣经以外的知识，如果是好的，早就在圣经里；如果不合圣经，当然是坏的。好坏界限很明确，不由你分说，一切以圣经为准。
那时的数学主要是为了有点基础学学天文，好夜观天象，用占星术来预测吉凶祸福。现在有些人也喜欢看看自己、看看别人是属于什么星座，赶个洋时髦，其源都出于此。
那时有点名气的数学家中，有一位叫博埃齐（约475—524），他写了两本教科书：《几何学》和《算术》。
那《几何学》也只是对欧几里德的《原本》支离破碎地摘抄了一些，可能还有错误，定理也没给出证明。奇怪的是还在这本书里含有算盘和分数的内容，可能是算命看星座要用得着。
《算术》的内容也是乏味枯燥，神秘兮兮的。就这么两本书还被当作宝贝，好几百年里一直作为教会学校的标准课本，一直用到12世纪。
这位博埃齐出自名门，还写了一些哲学书，而他则成为了中世纪经院哲学的奠基人。他理想高尚，又有点刚直不阿的味道，最后竟以叛国罪被斩。
后来还有一位热尔拜尔（约 950—1003），法国人，教士。他幼年就聪明异常，到西班牙的穆斯林学校学习过，很可能随之也把印度—阿拉伯数字带回了欧洲。
他手艺倒也不赖，能做做风琴，制制地球仪，造造钟表，令同辈五体投地，认为他是个鬼才。令人迷惑的是，这么一个有生气的人，在公元999年竟被选为基督教的教皇。
就从这位教皇开始，希腊的科学著作，自然也包括数学著作，开始传入西欧。一个途径是通过贸易、旅游、留学，同地中海地区和阿拉伯人发生接触，吸收他们没见过的大量知识。
希腊文的、阿拉伯文的著作大量翻成拉丁文。那些当权人物不知是什么原因，也支持学者们出国取经。有一位老先生居然乔装打扮，冒充回教徒，去阿拉人的地盘里偷学“真经”。这要是现在，是要被当作科技间谍的。还有一个途径是战争。不过这场仗不是为数学去打的，那叫做十字军东征。
1085年基督教徒攻占托里多城，那些基督教学者们立刻蜂涌而入，那里的阿拉伯著作可是多极了。又过了几年，基督徒又从阿拉伯人那里夺取了西西里岛。
那西西里岛大家当然都觉得耳熟。此处确实是个风水宝地，是东西方的天然会合处，几大文明的聚宝盆。希腊、罗马、阿拉伯，反复争夺，几度易手。基督教的学者在这里如获至宝，把大量的希腊和阿拉伯的手稿翻译成拉丁文。
整个 12 世纪就是这么不停地翻，不停地学。欧洲人对这些著作如此钦佩，以至完全倾倒。他们见到了一片从未见过的绿洲，他们发现了真正的新大陆。这精神文明的大发现要比哥伦布的发现早上300多年呢。
这个时期就叫做大传播时期。
火种已经播下了，但要形成燎原之势，还需时间老人起起作用。所以12、13 世纪那当口，思想还是受着严重的束缚。不过由于有了那么多的希腊书、阿拉伯书，总归有点生气，有点起色。
这其中最值得一提的一位，是 13世纪初的斐波那契（约1170～1250），称得上是欧洲中世纪最杰出的数学家。
斐波那契也被称为比隆的莱昂纳多，1175年出生于比隆的商业中心，其父在那里经商。那时，许多意大利大商行在地中海一带的许多地方拥有仓库。就在他父亲当海关关员时，小小的年纪，他就随父亲到过非洲。做父亲的天天要算帐，当儿子的在旁边看久了，当然就有了兴趣。
后来斐波那契又到埃及，西西里、希腊和叙利亚去游历，当然是长了更多的见识，学了许多的数学，如果他要一直在欧洲，那肯定是没那么大出息了。
回到比隆，受到当局的重视。他确信印度——阿拉伯的那一套数学，是要比当时的欧洲优越。1202年，契先生写了他的名著《算盘书》，咱们在前面已经见过一次面啦。
这本书虽然有许多是斐波那契的独立成果，但也受了阿拉伯和希腊材料的不少影响，当然这其中也有印度、中国的影响。阿拉伯所做的“金桥工程”，从欧洲文明的大传播时期起，就发挥了巨大的效益。
斐先生之前，欧洲已多少知道一点印度一阿拉伯记数法，不过只在修道院的院墙内，被教士们研究玩赏。可怜的老百姓依然在用繁杂的罗马数字，用着巴比伦的60进制分数。
从斐先生的光辉著作产生巨大影响起，欧洲人这才拨云见日，慢慢用起印度—阿拉伯记数法，用起印度人对整数、分数、平方根、立方根进行计算的方法。《算盘书》中的代数，他也照着阿拉伯人的样子用文字讲述，而不是用符号，比丢蕃都的立方程和中国的“天元术”都低了一截，未达水准。
各位同学，对于咱们大多数人来说，了解得较多的，就是以他名字命名的斐波那契数列了。
那斐波那契数列确实很重要，流传至今，中学的老师一讲到数列，必提起它的大名，不过就很少讲起这数列中的有趣故事啦。这故事可是斐先生自编的，用来引出问题：
假定一对刚出生的小兔一个月能长成大兔，再过一个月便能生下一对小兔，并且此后每个月都生一对小兔。如果一切正常没有死亡，公母兔也比例适调，那么一对刚出生的兔子，一年系繁殖成多少对兔子？
咱们自己拿着纸头，或者就在书边角上，简单推算一番．就可以知道，按月排下来，每月的兔子对数是：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233。
那233，就是一对刚出生的小兔，一年内所能繁殖成的兔子的对数。咱们自然还能往下算。下一个数就是14＋233＝377。为什么呢？说起来也挺简单：那233中包括两部分兔子，一部分是刚生下一月的兔子，那么在下一个月中不能生；一部分是生下已超过一个月的兔子，这一部分在下一个月都要再生一对兔子。把这两部分找出来，到底是多少，当然就能算出 233后面应该是多少只兔子了。
其实，那第二部分的兔子数已经写在上面了，就是 144。从 144 增加到233，增加了89只新兔子，所以144对于233的下一个数来说，就是老兔子了。所以233的下一个月，应新添144只兔子。共计有144＋233＝377只兔子。
这自然是游戏之作，数学家们的呆想，实际中那能保证不死亡，永远这么生下去呢？
那么这377算出来以后，再往下的各项大家当然也能看出门道了。这个数列中，每一项总是前两项之和！自然，除去第一、第二项以外。
所以这个数列就叫作“递推数列”，也就是说，知道了前两项，就能推出后一项，能像滚雪球一样，逐渐滚大、滚多。
递推数列是种很重要的数列，斐波那契好像是头一份。所以在中学里要讲到递推数列时，当然首先要提到它。
那斐波那契数列，还有一奇妙之处，两个相邻项之比（小的比大的数），就与所谓“黄金分割”的0．618发生了绝妙的契合。请看：
这0．618，不但是“黄金分割”，很美，而且也很技术，很科学。此话怎讲？原来后世有“优选法”一说，研究的就是如何从一大堆数据中，好中选好，优中选优。此是后话，暂且不提。
斐波那契数列被斐先生说的生动有趣，很吊胃口，这也是那时的数学书常用的手法。恐怕那时的读者水平初等，板起面孔来教，效果更差。
比如斐先生还给出这样一题，咱们不妨放进脑子里，茶余饭后也能助点谈兴：
一个人经过七道门进入果园，摘了许多苹果。离开果园时，给第一个守门人一半加一个；给第二个守门人，是余下的一半加一个；对其他五个守门人，也如此这般，最后带着一个苹果离开果园。请问当初他一共摘了多少苹果？
看来这些守门人也是乱设路卡乱收费，雁过拔毛，非治理整顿不可。
斐波那契的才能受到皇上陛下弗里德里希二世的垂青，因此被邀请到宫廷参加数学竞赛。皇上的四品带刀侍卫约翰阁下提出了三个问题。所以认真说起来倒不是竞赛，而是想考考咱斐先生的学力功底。
13 世纪的欧洲数学，以斐波那契为代表，就这么慢慢地在巴黎、牛津、剑桥和那不勒斯等地的一些大学发展起来。星星之火，终于要成燎原之势了。且说从12世纪的大传播开始，欧洲文明的火种已经播下了，文明之车也缓缓起动。
但这冲天之火却不能突然而起，黎明之前还真有一段黑暗呢。
首先是13世纪的基督教可真是不含糊，对异端邪说保持高度的警惕。少数的几所大学都受教会的控制，教授们不能自由地讲授。特别是哪方面发现有和教义相抵触的论调，那是立刻镇压，其残酷与恶毒的程度在历史上是空前的。臭名昭著的宗教裁判所直到现在被人们提起，还不寒而栗，万分憎恶。
还有那老天爷也和欧洲人过不去。14世纪的下半叶，黑死病流行，扫荡了欧洲三分之一的人口。人们朝不保夕，哪还有心思去想问题，研究学问？再说了，长期在那种思想僵化的气氛里生活，你给他思考的权利，他也展不开想象的翅膀，何况还有宗教裁判那座大山压在头上。
人们迫切需要一场思想解放的运动，挣脱枷锁，投入到生机勃勃的创造中去。
这场革命终于来到了，这就是从1400年到1600年左右的文艺复兴。欧洲被深深地震撼，知识和知识界的面貌也大大地改变，数学活动以空前的规模和深度蓬勃兴起。
这文艺复兴的圣地和源头自然是意大利。意大利能担此历史大任，当然不是上帝随便掷的骰子，而是有方方面面的条件。
意大利南临地中海，生意做得很大，财富源源流入，还建立了不少大银行，钱多了，搞学问才有可能。再者，当时的意大利被战争弄得支离破碎，正是促进个性解放，反抗教皇统治的大机会。战争解放了人民，鼓励知识分子造反。一场思想解放和文化启蒙运动从这里开始不是偶然的。
其他客观也很好，希腊的大量文稿又一次大量涌入欧洲，这次是土耳其人占了君士坦丁堡（1453年），这些宝贵的手稿比十二、三世纪时得到的要好得多。
好事一桩连一桩。正当其时，中国的造纸术、印刷术又通过阿拉伯传入了欧洲。可怜的欧洲以前可是一直用的羊皮纸、草皮纸，这种纸可真是贵。
实在没法想了，还要把写过字的羊皮纸擦掉重用。现在可好了，能用上棉纸和麻纸了。
那印刷术的应用更是一件了不得的大事，一点不比现代电子计算机的发明逊色。试想想，不用印刷，光靠手抄，一本一本传抄，那还了得！敢再过过这种日子吗？
1482年，译成拉丁文的《原本》第一次印刷出版了。
这么多条件凑在一块，真是“天时、地利、人和”了，单等那伟大人物登高一呼。正像有人那么说过的，这是一个需要巨人而又产生巨人的时代。果然，就有了所谓“文学三杰”——但丁、彼特拉克、卜伽丘，和“艺术三杰”的出现。那后面的三杰就是达·芬奇、米开朗基罗、拉斐尔。
达·芬奇虽然是大画家，但他的博学多才更是著名。他还设计过直升飞机！说他是个科学家一点也不过份，他写过几何方面的著作。
更伟大的科学家自然是哥白尼（1473—1543），伽利略（1564—1642）、开卜勒（1571—1630），一时间群星荟萃，把旧世界的思想禁区扫荡得人仰马翻，一塌糊涂。
同学们也许会犯迷糊，咱们好好的数学演义，要谈什么文艺复兴、“日心说”“地心说”有什么用？其实咱们的数学，要发展要进步，全要有个环境，有种氛围作基础，万事万物也都是这个理。咱们在这多说道一番，就是明白一下数学发展的道理和道路所在。
要知道，经过文艺复兴这么一解放，知识分子们可是大开眼界。希腊知识体系里的那种崇尚自然，探讨自然，追求完美和自由研讨的作风，成为新的价值观，新的价值标准。
欧洲人这时感觉到，自然界是按照数学方式设计的，设计得非常的和谐优美。而这些正是希腊学者的主导思想。
再说了，文艺复兴的扫帚一到，中世纪的文化和文明自然被扫得支离破碎，各种教会建立的哲学、思想基础上崩瓦解。人们迫切要一个新的基础，而数学是唯一被大家公认的真理体系。
按照那时的普遍看法，上帝是按数学方式设计了大自然，上帝是一位至高无上的数学家。文艺复兴时许多科学家是神学家，用自然代替圣经作为他们的研究对象。
“世界是按上帝的计算创造的”，这就是他们的新信仰。希腊思潮冲击了愚昧的基督教世界，知识分子们既被希腊世界所深深吸引，又不敢（也许是舍不得）做基督世界的彻底叛臣，他们就把两个世界的教义溶为一体了。
一出有声有色的现代数学的大幕就要徐徐拉开了。不过咱们先别忙看最精彩的部分，而是把目光转向这场运动初期的一些时期。
却说那文艺复兴对欧洲文明、对数学的影响当然是不言而喻，可是在初期，数学上却并没有什么辉煌的成就。辉煌的成就还需要人们在各方面为它作好出现的准备。
那初期一阶段，对现在比较有意义的事情，就是各种代数符号的出现。符号的使用对代数来说具有什么样的意义，不说大家也清楚。
首先咱们看一看等号的使用。发明现在这种等号的是英国人雷科德。雷先生（1510—1558）写出了16世纪最有影响的教科书，是用英文，而不是拉丁文写的，这可是一个进步。
1551，他写了本《知识的城堡》，是介绍哥白尼的“日心说”的。还有一本《知识的捷径》，是《原本》的一个节略本。而现在等号的第一次使用，就是他在《智力的磨石》中的创造了。
对这个符号，雷科德说的也很精彩：“再也没有别的两件东西比它们更相等了。”他所说的两件东西，就是指组成等号的两条平行线。
加号和减号，一开始是用 P 表示加，M 表示减，这是意大利人帕奇欧里在1494年的一本书里使用的。咱们现在用的“＋”和“-”，是一位捷克人维德曼。这是1489年出版的一本书里的记法。
此外，乘号是1631年由奥特雷德在他的著作《数学之钥》中第一次使用的；除号是瑞士人雷恩在1659年首先用的。还有根号，如此等等。
这些符号一一地使用，就等着代数的彻底符号化了，而这已是不太遥远的事了。
在这伟大时刻到来的前夜，不想在三次方程问题上却发生了一场极具戏剧化的大风波。两位数学家变成了不共戴天之敌，到了动刀动枪玩命的程度，真正是数学史不多见的。
这两位主角，究竟是哪里人氏？缘何成仇？请大家莫急，我给大家说个他细。
话说1512年，法国军队越过阿尔卑斯山，占领了意大利北部，征服者无情地烧杀抢劫，离米兰不远的布雷西亚城也遭到了攻击。
虽然是英勇抵抗，结果还是被法国破城。不幸的居民们一起逃到大教堂避难，在神圣的教堂里是不能有暴力行为的，这是当时的一般规矩。
妇女、儿童、伤员都聚集在一起，指望万能的主帮他们渡过这一关。在这拥挤的人群中，有一位十多岁的小男孩尼古拉，同他的当邮差的父亲在一起。教堂里的人，心中自然是七上八下。
没想到，法国兵一拥而入，见人就砍，乱冲乱杀，香烟燎绕的大教堂顿时成为血肉翻花的屠宰场。后来，尼古拉的母亲在她丈夫的尸体旁找到了这个气息奄奄的男孩。
小尼古拉的头盖骨被劈，腭部和舌头也被砍伤，离死是不远了。当母亲的也只得把他弄回家，心想就看这孩子的造化吧。
没料想他居然活了下来，没有钱医伤，就用嘴舔舔伤口，也算是命大。但是舌头上的伤使尼古拉一辈子咬字不清，大家给了他一个塔尔塔里亚（结巴子）的绰号，以后久而久之，就成了他的大号，真名反而没人记得了。
塔尔塔里亚的妈穷得叮?响，砸锅卖铁攒了点钱，就送他进了学校。他只学了15天，恐怕是没钱交班费了，只好打道回府。
临走时顺手牵羊带了本字帖（他刚刚学到字母 K），就开始了他的自学生涯。没钱买纸笔，就在墓碑上画画写写。他不但学会了字母表中的其他字母，而且还学会了拉丁文和英文。
穷人的孩子懂事早，塔尔塔里亚明白，自己这伤残之驱只怕是肩不能挑手不能提，只有靠脑瓜子挣碗饭吃了。所以他学得格外勤苦。
23岁那年，他开始以教别人数学来谋生，并且还能贴补贴补他母亲。也许那时搞“家教”，收入还不算低。
后来，他离开老家，到意大利各地，最后还到过威尼斯。请他讲课的倒不少，数学、技艺他都教，不过还是个穷教师，勉强度日。
但是这位大难不死的人总算有个机会扬名天下了。数学家弗里奥要和塔尔塔里来次数学对抗赛。
那时的学者们往往一有发现便严守秘密，然后向对手挑战，这是一个很好的显示实力的机会。所以这种对抗赛进行得不少了，很平常。
那么，弗里奥如何偏偏要找塔尔塔里亚过招呢？
原来，弗里奥是波洛尼亚大学数学教授费尔洛的得意门生。费尔洛教授有一样镇山之宝，那就是一些三次方程的解法。费尔格把他的心爱之物密传给他的高足弗里奥和女婿。
那位弗里奥有此一宝，自然是万分珍视。谁曾想在1535年，塔尔塔里亚宣布，他发现了三次方程的解法。弗里奥勃然大怒，他断定这位自学起家的乡巴佬是有意招摇撞骗，于是，立马向塔尔塔里亚下了战表，约定1535年2月22日举行“对抗赛”，倒也挺有点像骑士的决斗，不过不是用剑，而是用笔。
“决斗”的这一天，双方应该到公证人面前，每个人交给对方30道题，规定在50天里解出这些题。谁能解得多，解得快，谁赢。而且，每解一题还能得到五个铜板。
比赛开始前的几天，塔尔塔里亚得到了消息，弗里奥的确知道x3十px=q这种方程的解法。
塔尔塔里亚不由得倒吸一口凉气，心想，咱自己的底细自己明白，三次方程也只能解一些特殊情况。自己说都能解，那也是“广告做得好”，小吹了一次牛。
不过，塔尔塔里亚很快就镇静下来，闭门不出，独练解题内功。正如他自己所说的：“我运用了自己的一切努力，勤勉和技巧，以便得到解这些方程的法则。结果很好，我在规定的期限前十天，就是2月12日，就做到了这一点。”
“决斗”的这一天终于到来，双方准备停当，披挂上阵，虽比不上临潼斗宝，却也正是华山论剑。公证人一声令下，两条好汉各自亮招。
果不其然，弗里奥出的30道题，全是x2＋px=q这种形式的方程。
塔尔塔里亚成竹在胸，身手不凡，两个小时内当场做完，诸位看客惊得大跌眼镜，感叹之声不断。而那位弗里奥，在规定的50天里，对于对方给出的30道题，连一道也没解出，全军覆没，大失水准。
塔尔塔里亚一炮打红，名噪意大利。登门者络绎不绝，希望他公布秘密。
但塔先生自然是守口如瓶，只准备以后发表在自己的大作里。
这时来了位波伦亚的人物卡当，此人脑子绝对好使，多才多艺，但人品却不敢恭维。
卡当是那个时代最有才华的人物之一，但他那异常的性格更使人吃惊。1501年，他出生于帕维亚，是一位法官的私生子。他是个易动感情的人，性格多变，职业也多变，还是位财徒。
他时而醉心于数学，时而又对占星术有浓厚兴趣。他对占星术酷爱到编基督的星占表，被控为邪说而监禁起来。出狱后，丢了帕维亚和波洛尼亚大学的饭碗，迁到罗马，成为有名的占星学家。
据说，卡当曾预言过自己要在某一天死亡。为了保持他这个星相家的荣誉，他在1576年的那一天自杀了。
公平点说，卡当是有大才之人，与中国的秦九韶差不多，才优而品劣。他写了许多学科的著作，他的最大一部著作叫《大衍术》，是专讲代数的第一部拉丁文巨著。这书里的方程有了负根，甚至还谈到虚数的计算。
这位卡当和秦九韶一样，是位志大心大，心雄万夫的人物，恨不得天下学问统通姓卡，所以卡当很想获取塔尔塔里亚的神来之笔，把三次方程的秘密收罗进自己的《大衍术》。
他前往威尼斯，请求塔尔塔里亚告诉他这个秘密，并答应不载入自己的著作，当时自然是少不了拍马谄媚，灌灌迷魂汤。
当请求遭到拒绝，卡当就从谄媚转为猛烈的侮辱，大骂结巴子不够意思，并又心生一计。
这一天，塔尔塔里亚收到了从米兰来的信，信中说：“一位高贵的先生听到了好多关于著名数学家的传言，特请他前来会晤，以便当面承教。”塔尔塔里亚对这顶高帽子非常的满意，就动身去了米兰。哪知见到的不是“高贵的先生”，还是卡当其人。卡当再次做了拍马屁的饱和密集轰炸，弄得塔先生晕乎乎的特舒服。
卡当再一次庄严地起誓：我在任何时候对任何人也不公开这个由于塔先生的友爱，而传给我的这些法则和秘密。
塔先生感动得声泪俱下：“如果我不信任这个誓言，那咱自己也是个不值得信任的人了。”没说的，塔老哥立刻让卡当老弟遂了心愿，口传秘法。这是1539年的事。
过了几年，卡当的卓越著作《大衍术》出版了，在这本书里他违背了自己的誓言，详尽叙述了解三次方程的理论。这一招使两位著名的数学家变成了不共戴天的仇人。
“我自己的代数著作中最好的装饰品被这个贼子背信弃义地窃走了”，塔尔塔里亚气得浑身打颤，于是向卡当下一战表，再用传统的对抗赛决一雌雄，并建议互换31个题，在15天内解出。
卡当先生哪能在这种场面露怯，立马表示没问题，赛就赛。塔尔塔里亚在七天里就解出对方提出的大部分题，并马上把解法寄到米兰。而卡当和他的弟子费尔拉里过了五个月才把他们的解送来，而且，按塔先生的看法，都是不正确的。
塔先生得手之后，决定再下一战，和卡当公开辩论，以大白真相于天下。他宣布：“要求我的对手卡当和费尔拉里于1545年8月10日上午5时，在米兰市圣玛利亚教堂举行公开学术辩论。”
指定的时刻到来了，只有费尔拉里一人出席。按塔先生的描绘，他是一个有着“优美的声音，招人喜欢的面孔，巨大的才能和魔鬼般性格的青年人”。
塔先生独在异乡为异客，只和他兄弟两人单刀赴会，而那边却是战将如云，气势上已是胜他一筹。辩论开始了，塔尔塔里亚首先证明卡当所解的一个题目不正确，并想转入正确的解法，却不料费尔拉里那帮人立刻起哄。塔先生请求先让他把话说完，可是徒劳无益。
费尔拉里马上抢上讲台，在找出塔尔塔里亚的一个错误之后，就开始了冗长的谈论。他说卡当是从某种渠道从费尔洛那里得知方法的，并反诉塔先生剽窃费尔洛的成果。也难怪，当时他们都是私相授受，谁能弄得清这笔糊涂帐。
时间拖到了吃中饭，教堂也很快空无一人。辩论本当在第二天继续，可塔尔塔里亚看看势头不妙，卡当很可能雇黑道人物对自己下毒手。
于是在夜里，塔尔塔里亚和他的兄弟用雨衣裹住身子，惶惶如丧家之犬，急急如漏网之鱼，逃出米兰了。
历史对塔先生似乎也不太公平，那著名的解三次方程的公式长久地叫做“卡当公式”。历史也有点欺负老实人。不过现在人们都称为“塔尔塔里亚-卡当公式”了。
塔尔塔里亚自己也不是无可非议、完全老实。他出版的阿基米德著作的一些译本，实际上是抄别人的；他自称发现了斜面上物体的运动规律，那也是掠人之美。
卡当是这么想的，如果通过换元，把平方项消去，不就变成了塔尔塔里亚的形式了吗？这样一种化归的思想，化未知为已知，是数学上常用的方法。
他的学生费尔拉里，通过更复杂一点的变换，得到了四次方程的求根公式。
费尔拉里的变换，可以把一个四次方程，变成三次方程，这样就得到了答案。很自然地，大家都在想，那么用变换的方法，把五次方程化成四次，或者更高次的化成低次的，那么，所有高次方程的求根公式，不都是能得到吗？
大数学家欧拉，在 1750 年作过这种尝试，结果失败了，30 年后，另一位数学家拉格朗日也尝试了一下，也失败了。
后来人们才发现，一般的五次或五次以上的方程，是求不出、给不出一个像二次、三次方程那样的求根公式的。
大伙看到此处，不免有些疑问，容我详细说明：
这求不出、给不出求根公式，并不是说任一个五次以上的方程都是这样，一些特殊的高次方程，比如说
大家就能给它一个求根公式。而对于一般的五次、六次等等，你可就做不到这一点啦。此其一也。
其二，没有一个一般的求根公式，并不说明方程没有根，方程的根还是存在的。方程的根一定存在，这需要证明；而任一个几次方程到底有多少根，也很值得研究。这两个问题以后都得到了完满的解决，此是后话。
这第三点，大家不免会问，前一回中不是说过，中国的秦九韶、朱世杰，不都是解过五次以上的高次方程吗？尤其是那秦先生，更解过一个高达十次的方程，令咱们吃惊。那么，中国当时的解法，是不是仅仅对一些特殊的高次方程而言的，没有一般性？
不是这样。中国的解法能解出任何一个高次方程来（有实根的）。那么这与刚刚说过的五次以上的高次方程没有一个一般的求根公式，矛盾不矛盾呢？
一点不矛盾，两者考虑问题、解决问题的方法完全不一样。
那西洋塔尔塔里亚、卡当一路的方法，是先得出一个一般的求根公式，以后的使用和求解就方便了，把具体的方程的系数代入公式，一次性解决问题。想法好是好，只不过碰到五次以上就卡了壳，得另想招了。
这中国的想法，从《九章》那儿开始，就是所谓“开方术”这三个字，开平方、开立方、开四次方等等，咱们中国研究得都很透彻。而这种方法解高次方程的实质，是一种所谓迭代的思想。也就是先估算出一个近似的根，而后根据给的方程和法则得一个迭代公式，将近似根代入公式而得出新的近似值，再代入，再得之，使得这个近似根一步比一步更精确。
有人说，哪有公式法求根来得好。其实，真正实用的还是这种迭代法，何况五次以上的方程还根本没有求根公式呢。
迭代法是现代计算方程根的一种主要方法，因为根据迭代的公式，很容易编成程序，上计算机运算。咱们中国用来解高次方程的那种“开方术”，就和600年后牛顿迭代法是完全一样的。
这解方程、讨论方程的解，一直到19世纪，都是代数学的主要问题，甚至变成了唯一的问题。不过咱们都知道，代数要真正地从算术中独立，要使人相信代数得出的结果也像几何那样可靠，要使代数也变得严密，变得有规律，那么，一套完整简单的符号，是非常重要的。
咱们都知道，这代数的符号系统，大致经历了三个发展阶段。而那希腊亚历山大时期的丢蕃都老先生，还有咱中国的秦九韶、朱世杰诸前辈，都把这符号发展到一定的高度，但是还不够简洁，还没有彻底符号化，所以只能算是第二个阶段，初级阶段。
而韦达（1540—1603），这个咱们每位中学生都熟悉的数学家，在这方面就做出了更大的贡献。也许咱们能说，是韦达才真正把代数从算术中分开。
韦达先生是个专业律师，研究数学是他的业余爱好。早先，一开始，韦达最大的兴趣是从政，治国平天下。所以就在议会里工作过，还当过一位亲王的枢密顾问官。
后来，在 1584年，韦达先生下了野，归耕垅亩，就安心专门搞了五六年数学，还自费出版了自己的著作，这也是显示扬名的好机会。
关于韦达，倒也有些趣事。有一位国家的大使向国王亨利四世夸口，说法国没有一位数学家能解决他的同国人提出的需要解45次方程的问题。于是韦达被召入王宫，几分钟内就给出了两个根，后来又求出了21个根。他把负根漏掉了。
韦达大扬国威，也使那位提出问题的数学家大为佩服，亲自骑着牲口长途跋涉拜访韦达先生，两人切磋学术，大有相见恨晚之慨。
韦达的才能在治国安邦上大展宏图。那时法国和西班牙开仗，韦达破译了西班牙的密码，使得法军对西班牙的动态了如指掌，不到两年功夫就打败了西班牙。
可怜的西班牙菲力普三世，败了还不知道怎么败的。弄得一头雾水犯迷糊，还向教皇告御状，说法国在对付西班牙时用了魔法，与基督教的惯例不符合。
那么韦达在符号方面究竟有多大的贡献呢？在韦达以前不也有不少人，比如丢蕃都、卡当、秦九韶、朱世杰等等，不也用了符号表示吗？
这话说得也不错。但是韦达之前，一般用不同的字母，表示一个未知量的各次幂；而韦达用同一个字母，而把它的各次幂适当用其他符号说明一下。
更不一般的是，以前未知量的系数都只能是常数。比如咱们前面看到过
实际在塔尔塔里亚那会儿，系数和常数不是写成p和 q，而是一些具体的数字。咱们不过为了说话的方便，反映反映塔尔塔里亚解法的实质，把这些具体的数字写成字母p和q。
把系数用字母表示出来，就有了一般性，意义可就不一般了。
韦达充分体会到这一点，他充分认识到，如果一元二次方程写成 ax2＋bx＋c=0，那么所处理的就不是一些单个的二次方程，而是整整一类，所有的一元二次方程！
他曾经这么说过，代数，是处理一类事物、一类形式的运算方法；而算术，是同数字打交道的。这样，代数就一下子成为研究一般类型的式子和方程的学问啦！一般情形可就包括了无穷多的特殊情形，咱们的思维就真正能机械化了，而不是见一种特殊情况，想一种招术。
代数真正的独立出来了。当然，符号的完善和简化，还要进一步的努力。现代数学的帷幕已经拉开，序曲已经奏响，波澜壮阔千变万化既广泛又深入既抽象又生动的数学大潮在向我们涌来。让咱们迎接这个伟大时刻的到来吧。
欲知后事如何，且听下回分解。
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