数学演义第二回：骨泥版 共创数学纪元 竹简纸草 同著算术春秋
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第二回甲骨泥版共创数学纪元
竹简纸草同著算术春秋
一块古巴比伦泥版上刻满了毕氏三数，可惜残缺不全，留下千古之谜。中国的陈子胆子倒确实不小，居然测量起太阳的直径，用的仅是根竹竿！埃及的神庙，夏至时阳光能直射神像，善男信女惊异不已。
且说这西方学界，一直认为埃及的古代数学是希腊文明繁荣之前，水平最拔尖的，待到巴比伦的泥版问世，方知更技高一筹；更不需说他们对古华夏的数学成就一无所知了。这里先谈一番巴比伦。
这巴比伦人居住在美索不达米亚。“美索不达亚”是古希腊语，意思是两河之间的地方。这两条河就是底格里斯河和幼发拉底河。
两河流域最早的文明大约至少有六千多年了。这块地方大致以今天的巴格达城为界，分为南北两部。北部以古亚述城为中心，称为西里西亚；南部以巴比伦城为中心，称为巴比伦尼亚。各个民族居住在一些独立的城邑中。
这南部主要有苏美尔人、阿卡德人。美索不达米亚文明最初就是苏美尔人创造出来的。
苏美尔人几乎和埃及人同时发明了文字。这就是大名鼎鼎的楔形文字了。
上个世纪开始，考古学家们在美索不达米亚进行大规模的发掘。
这里的房屋几乎一直都是有土坯盖起来的，有点像北方的干打垒。下一次大雨自然要冲毁一些，就在旧屋子上面又造新屋。这样盖了塌，塌了盖，最后就形成了一个个土丘。把这些个土丘直直地挖下去，就会看到这个城市从古到今一层一层地分得很清楚，真好像一块历史的千层饼。
考古学家们在这块千层饼里细剔细筛，发现了五十万块写有文字的粘土书板，仅仅在古代尼普尔这个地方就出土了五万块！
许多的国家，许多的博物馆、文物馆，那是闻风而动，千方百计各种途径，收藏这些珍贵的文物。有时，同一块泥版会分成几块，藏在不同的博物馆里。
这些泥版有大有小。大的呢，也就和教科书差不多，小的只有巴掌那么大吧。有时书板的一面有字，有时又是两面都有字。想必做这样一本书也不容易，要节约用纸。
现在流传问世的，大约有三四百块和数学有关的泥版和一些碎片。泥版上没有什么年代的记号，学者只能根据它们在千层饼中的位置来推断啦。他们发现，大部分泥版是在3000年以前的若干世纪内制作的，前后延续有2000年左右。还有一小部分是公元前600年到公元300年间制作的。这两部分之间留下了很大的一段空档，正是巴比伦历史上的一个动乱时期。
看来，巴比伦的数学创立得十分迅速。而在这短暂的迅速发展之后，接下来的却是长时期的停滞不前。
要想破译这泥版的内容，可就比断定它们的年代更难啦。一直到 1935年，经过诺伊格尔和吐娄——当兰的著名发现，人们才了解了不少数学书板上的内容。
许多早期的书板，都是有关田地转让的计算。还有不少是一些契约文书，像帐单、收条啦、期票啦、卖货的单据、商号和帐目等等。
巴比伦人的计算倒是挺有意思，是借助各种各样的表来实现的。在数学泥版中，大约有200块是表，有乘法表，倒数表，平方表和立方表，甚至还有指数表。
接下来，咱们拿一块巴比伦泥版来试看破译一下，和大伙一起暂时当一次考古研究者。当然，现在我们早已就知道一些谜底了，猜起来可就要比那些先驱者容易多了。
我们现在看到的就是一块古代巴比伦泥版了（见下图）。正确点说，是它的一个复制品。左面是正面，右面是反面，两面都刻有字。
首先我们数一数行数，一共有24行。每一面呢，都有两列，我们把它分别叫做第Ⅰ列（左边的）和第Ⅱ列。
现在我们从第1列开始正式考察。
它的第一行是一个垂直的楔形，我们把它叫“直楔”。第二行就是两个直楔了。第三行呢，是三个。其实这些记号咱们都碰过面，就是没碰过面大家也能猜出来：不就是1、2、3嘛！
顺下来的几行也很容易，就是从4到9，只要数一数直楔的个数就成了。不过大家看到它们有时是三个一组的，这么一来就更容易读了。比如 8，写成三层，两层各有三个直楔，一层有两个，一眼望过去，就知道是多少。这开头的九行倒很顺利，咱们破译初步成功。
再往下看，到9后面，我们发现了一个新记号：“■”，我们把它叫做“角楔”。
我们当然首先想到这应该是 10，不过还要谨慎一些，看看能不能往下顺。如果在下面的几行中把它看作10也正确，那么猜想就对了。
接下去的几行确实令人很高兴，没费周折，我们可以认出 11，12，13，……，18。再往下应该是19，从规律和书写的情况来看，肯定是19，只不过有一些涂改的痕迹，可能是这位巴比伦人写得有点不耐烦了，笔划太多。
再往下也没什么难懂得的，是20，30，40和50。
这么一来，我们就破译出第Ⅰ列，这一列顺序写出了1到20，然后是30，40，50。直楔代表l，而一个角楔代表10。
现在咱们要扩大战果，把我们的发现用到第Ⅱ列上。
开头的几行当然畅行无阻，是 9，18，27，36，45，54。咱们把它们和第Ⅰ列中同一行的数一联系，窍门就看出来了，这不就是九的乘法表嘛！
再往下，第七行、第八行当然应该是63和72。但是第七行写的是：
那右边一块堆的三个直楔自然是3，那么60又在哪呢？好像把最左边的那个大一点的直楔认作是60才妥当。
这样看来，同样都是直楔，放的位置不同，表示的数也不一样；这正是前面说过的位值记数法。不过咱们在这向左移一移，不是变成 10，而是 60了！这是不是“逢六十进一”呢？
这泥版上的63，我们用现在的符号写一下，就是1，3＝１×60＋3＝63。记住，我们这里用逗号把两个数符分开，表示两个数位。就像十进制中的个位和十位一样。只不过“个”位的单位当然是１，这里的“十”位的单位可就是60了。
下面可就势如破竹了，咱们可以把它们改写成：l，12＝1×60＋12＝72；
1，21＝1×60＋21＝81；
1，30＝90；1，39＝99；
l，48＝90；1，57＝117。
所有这一切都说明咱们一开始就猜对了；这块泥块果然是九的乘法表。
咱们当然把它改写为2，6＝2×60＋6＝126，这 126，不就是 14 乘以 9的答案嘛！
以下的几行当然不难改写成：
2，15＝2×60＋15＝135，
2，24＝144，
2，33＝153，
2，42＝162，
2，5l＝171。
值得注意的是，我们需要把逗号右边的那些数，比如 15 啦，24 啦，33啦等等，看作是一位数！是巴比伦人用的六十用制中的个位数。尽管这里用十进制表示出来是两位，但在六十进制中，是一位，是用一个完整的独立的符号表示的。
所以，六十进制中记数的符号一共要有从0到59这六十个符号。而十进制位值记数法，则是用从0到9这十个符号。
不难理解，b进制记数法就应该用从0到b—1这b个记数符号。比如现在电脑中常用的二进制，只用0，l这两个符号。十六进制也是电脑中常用的记数法。只用 0 到 9 这十个符号就不够了，所以又添了 A、B、C、D、E、F这六个符号表示10到15这六个数。因为这六个数还不够资格向前进位，只能在低一位上用一个符号表示出来。
比如15，十六进制中就写成F。而 2B这个十六进制数，就等于2×16＋ll＝43。
不过看起来好像巴比伦人只有从1到59这五十九个符号，少了个0。我们仔细看一下2，51后面的那个数就可以知道，它是三个直楔，后面空了格。
想必那空的一格表示0，这样这个数就是3，0＝3×60＋0＝180。下面的几行也很容易破译。咱们就请朋友们自便吧。
像上面一样，1，25，30 这个巴比伦数就是个三位数，其中的 25 和 30都看作是一位。它应该是
不过因为巴比伦早期用空格表示零，这空到底是空一格还是空两格，还是不空格，就比较模糊。所以，l，25，30也可以看作是1，25，30，0或者是1，25，30，0，0。
你瞧，把这个数向左移动一位，就扩大了60倍。这也与十进位差不多。
十进位中，一个数向左移动一位，就扩大了10倍。60 和 10 分别是六十进制和十进制中的“基”。所以，把一个二进制数
向左移动一位，就扩大2倍；把一个十六进制数向左移动一位，就扩大了16倍。
因为用空格表示零比较模糊，所以把一个数 1，25，30 看作是 l，25，30，0还是1，25，30，0，0就要根据上下文来确定。
在后期的泥版中，巴比伦人也偶尔用一个记号表示零，这样就比较方便了。
这六十进位与十进位的明显差别首先自然是基底不一样，一个是60，一个是10。
当然，每种基底都有自己的优点和缺点。以 60为基底的只有很少几位就能写出很大的数，这在上面大家已经看得很清楚；而以二为基底的二进制数，我们以前的已经说过，同一个数用二进制比用十进制，位数要多得多。
不过这基底较大，缺点也很明显。比如说二进制，只有两个数码就成；六十进制呢，得用六十个不同的符号，可真够难记的。
这且不说，尤其难的是它的乘法口诀。十进制中叫“九九表”，因为它有九九八十一句口诀。为什么要九九八十一句呢？因为十进制中一位数只有从1到9九种情况（不连零）。
问题到了六十进制那地方，可就麻烦大了。六十进制中一位数有59种情况！所以它的乘法口诀共有59×59句！近3600句！太难记了。
人们想到可怜的巴比伦学童们背这么一张 59×59 的大表可能会不寒而栗。看书的同学大概也很庆幸自己没有出生在伟大的巴比伦时代，尽管那儿有举世闻名的空中花园。
有过好在那时已经有了各种类型的大量数表，不必要再去死记硬背了。利用数表来进行计算正是巴比伦的特点，巴比伦的创造。
在巴比伦的泥版中有许多“倒数表”。这所谓倒数表，也就是一些分子为1的分数。不过在他们那儿是用六十进制表示的。
这样一来，巴比伦就能做整数除以整数的除法了。比方说一个整数要除以8，那就把它乘以1/8，查一查倒数表，看看1/8能化成什么样的六十进分数。
这十进分数在我们的十进制记数法中，实际上就是十进的有限小数。所以，六十进分数在六十进位制中也就是有限小数。这样，化除法为乘法一个小数，当然简单了。
巴比伦的数表真真是数不尽，道不完。他们还有表示平方、平方根、立方和立方根的数表。
遇到无理数，当然不能用有限的六十进制表示啦，不过
在那会儿倒算得挺准：1．414213……当然，他们哪能知道
是无限不循环小数呢？那时各个地方的人似乎都认为世界上只有有限位的小数。
当然，这
在巴比伦人那里还是用六十进制分数表示的：
却说这巴比伦的数学泥版，除了大量的表以外，其他就是一些提问式的内容了。这些问题的一个个解决，往往反映了他们的代数方面的水平。
早期巴比伦的代数相当发达。这方面的一个著名问题，就是求出一个数，让它和它的倒数的和等于已知数。
用现代的记号来说，就是要求出这样一个x，使得
由于巴比伦人不知道负数，所以负根是略去不提的。
这样看起来，巴比伦人实际上知道二次方程根的公式。当然，我们这里看到的二次方程是特殊了点，常数项只是1。
不过，有好些问题是打算说明二次方的一般解法的。对于更为复杂的代数问题，甚至用到了等量代换，把复杂的化成简单的！
巴比伦人很喜欢用文字代表未知量，把代数方程用语言叙述并且还用语言求解出来。他们常常用长、宽、面积这些了来代表未知量，好像我们求解方程时，把未知量设为X、Y等。
比如说，在一块泥版中有这么个问题：
“长乘以宽得到面积10；现在我把长自乘，得到的也是面积。再把长与宽的差平方，然后乘以9，得到的还是面积10。问长和宽是多少？”
这个问题翻译成现在的写法就是
这样的方程组咱们初中生解决起来不费事，不过，你要想想这可是三千多年前的事（公元前1600年），可真够伟大的！
这古代的巴比伦人不但在记数、算术和代数方面技高一筹，几何方面的知识也不赖。从公元前2000年到1600年的一些泥版中，可以知道他们已熟悉了长方形面积、直角三角形面积的计算。还有一些简单立方体的体积也已经能算出来。
对于圆，全世界的文明都对它有浓厚的兴趣。这里关键的一点，就是对圆周率的认识。
不过，巴比伦在几何方面的造诣可远不止这么些。
1945年，有两位学者对放在哥伦比大学的一块数学泥版解读一番，发现了更令人吃惊的事情。这块泥版的编号叫变普林版322号。
这块泥版上一共列举了15行数，经过认真地研究这才发现：原来每一行都是毕氏三数！什么叫毕氏三数呢？也就是能构成直角三角形边的三个整数。比如像3、4、5，就是商高说过的“勾三股四弦五”。还有5、12、13等等。
但是这普林顿322号版上给出的15组毕氏三数可是了不得！很大，现在咱们写出几组：
（120，119，169）（3456，3367，4825）
（4800，4601，6649）（6480，4961，8161）
其中有一组更大：（13500，12709，18541）
这么大的数决不可能是用一次次试算求得的。人们猜测这些古人是不是掌握了计算毕氏三数的一组公式：
这里，x与 y 互素，有偶性也不同，并且 x＞y。这样，a、b、C 就构成毕氏三数了。
这组公式可是在普林顿泥版的一千多年后，才作为一项伟大的成就出现的呢！
人们还猜测，这些古巴比伦人是不是当时就得知了“毕达哥拉斯定理”（也就是勾股定理）。要真是这么回事，那可就是把毕代定理提前1500年发现了！
不幸的是，这普林顿322号是个残品，这块书板的右边中间有一个很深的缺口，左边掉下的一块也下落不明。这左边破的地方还有现代胶水粘过的痕迹。大概是这块书板不知怎么破了，人们尝试着用胶水把它们粘在一起，但最后还是脱了胶。更糟糕的是这掉下的一半都不知弄那去了。也许是想要这块泥版的人太多，你争我抢弄坏的吧？也许是原来不当它回事，东扔西丢搞掉了吧？说不定也有可能还蕴含着一个惊险曲折的传奇故事。反正在大洋彼岸的我们，也只能这么瞎猜猜了。
巴比伦人的天文学知识很丰富，三千年前就有了系统的观测资料。他们的天文学家甚至能把新月和亏蚀出现的时间准确地算到几分钟之内。
巴比伦古代有的是阴历。这阴历的一月是按月亮的运行周期定的，所以有的月份是29天，有的月是30天，全是根据新月出现的情况来定。这样，哪一个月定29天，哪一个月定30天，计算起来就复杂啦！
再者，阴历的月和一年的时间长短也不能很好配合。12个月就是都照30天算，也还只有360天，何况这其中还有不少是29天的，这就和一年的天数差得多了。所以要根据情况，必要时在一年中插进一个月，变成13个月。这就是阴历的闰月。如果19年里插进7个月，也就是19年7闰，那么月和年就能配合起来了。
这和我们中国用的农历是完全一样的。正所谓“英雄所见略同”吧。
使我们感兴趣的还有他们建造过的许多巨大的天文台。这种建筑通常是由7个梯台组成的，一个造在另一个的上面，就好像一架巨大的梯子伸向天空。每一个梯台上都涂有一种颜色，代表七个星球——太阳，月亮，金、木、水、火、土星。也许，这就是传说中巴比伦造的通天塔吧。
用这种建筑形式建造的宫殿，它的宏伟、朴素、匀称和美观是令人惊讶的。谁敢说，建造这些宏大的建筑不需要几何知识呢？
说了巴比伦，下面要把尼罗河畔的事由道一个明白。
这古埃及人得天独厚，在尼罗河畔沐浴着阳光幸福地成长。当美索不达米亚的统治权在各个民族间你争我夺，迭经更替的时候，埃及的文明却在尼罗河的摇篮里独自发展着。
埃及的文明源自何处今天已难以考证，不过可以肯定的是，在公元前5000年之前，就存在着。
在今天埃及这块土地上，一开始有许多的州。每个州都有自己的名称、都城，军队、政权、方言和图腾，俨然是一个个独立的小王国。
经过长期的战争和兼并，到公元前4000年代的中期，形成了两个较大的王国。两国以孟斐斯为界，以南的尼罗河谷地为上埃及，以北的尼罗河下游三角洲平原为下埃及。
公元前2100年左右，上埃及国王美尼斯征服了下埃及，实现了全埃及的统一。美尼斯把都城迁到上下埃及接壤的孟斐斯，并把它称为“白城”。以后埃及历史的主要时期就以统治的朝代来命名，而以美尼斯为第一王朝的创建人。
埃及文化在第三王朝（公元前2500年左右）到达顶峰，当时的统治者建造了至今闻名的金字塔。一直到公元前332年，亚历山大征服它以前，埃及文明都按着自己的道路延续着。从此以后，埃及的历史和数学就融入到希腊文明中去了。
古代埃及文明的历史延续了3000多年，是世界文明发祥地中的一个。古代的埃及好像“书”没有“同文”，他们有几套自己的文字，最早的是象形文字，这些都和咱们中国一开始的情况差不多。公元前2500年左右，开始用一种所谓“僧侣文”来作日常的书写。
他们又是怎么书写的呢？大家或许都知道就是用墨水写在纸草片上。纸草是尼罗河下游的一种植物，又叫纸莎草，形状像芦苇。古代埃及人把这种草从纵面剖开，压平后用来写字。同时，一般是把许多条纸草片粘在一起，连成长幅，卷在一个杆子上，形成卷轴（倒很人些象我们的卷轴书画呢！），所以这些纸草文书又叫纸草卷。
古埃及的气候干燥，所以纸草卷不会霉烂，这样就能保存下来，留给后世；但正因为也太干了点，所以纸草片又容易干裂成碎末，这样保存下来的又不多。正所谓“成也萧何，败也萧何”，老天爷弄得也挺为难的。
留给后世的纸草文书那可是大不一样了，恒温恒湿，高精控制，比总统住的还高级。这里面有数学内容的主要是两批。
一批是在 1893 年由俄罗斯收藏家哥列尼舍夫所收购，1912 年转为莫斯科美术博物馆所有，所以叫莫斯科纸草卷。
一批是1858年由英国发现的，现存英国博物馆。因为它的作者阿摩斯，是公元前1700年左右的一位埃及僧人，所以又叫阿摩斯纸草文书。
据这位僧人记载，这份纸草文书的内容是从公元前2200年第十二王朝时代的纸草文书上转录下来的。他在这份纸草文书的开头写下了这么句话：“获知一切奥秘的指南。”
数学纸草卷都是在古埃及政府和庙宇里工人的纪录员们记下的作品。在莱因德纸草文书里有 85 道数学问题和解答，莫斯科纸草文书里有 25道。虽然这些数学问题“解答大全”是在公元前1700年左右编写的，但所含的数学知识是埃及人早在公元前3500年就已经知道的，而从那时起直到希腊人征服他们以前，他们也还是没增加什么新内容。
埃及的数学就这么平静地流淌了三四千年，好像尼罗河停止不动了。不过，当时的生产水平也就那么高，当时的需要也就那么多。纸草卷上的那点数学也就足矣！看来不但时势造英雄，时势也成就科学。
从纸草卷上来看，古埃及还学会用数学来管理国家和宗教事务，确定付给劳役者的报酬，求谷仓的容积和田地的面积，征收按田亩估出的地税，计算修房盖屋和建防御工程所需要的砖块，再算算酿酒要多少谷物，等等，数学一开始就是从实际需要发展起来的，这恐怕是全球都适用的公理。
古埃及人创造了一套从一到一百万的有趣的像形数字记号。咱们前面已见识过：1是垂直的一根木棒，10是一副脚镣（有人把这解释为放牛时用的弯曲工具），100 是一卷卷起来的测量绳（可能当时每卷测绳都是 100 个长度单位），1000是朵莲花。
一万呢，是个手指头，十万就画成小蝌蚪。最有趣的是一百万，画了一个举起双手表示吃惊的人（这么大的数确实也令我们吃惊，古埃及好像是最早写出这么大数的人）。
这套数字符号是以10为底的，但不是进位制的。书写的方式呢，也是从右向左。咱们在上一回已经看到了，故且放下不提。
埃及的算术具有加法的特征，不但加法是加，而且乘法也是用叠加的方法做出来的。
现在我们当一回古埃及人，做一下26与33的积，看看究竟是如何叠加的。
因为 26＝16＋8＋2，所以我们只要把 33 的这些倍数（2 倍、8 倍、16倍）加起来就行了。而2、8、16等等，都是2的乘幂，所以只要对33逐次加倍就可能得到所求的倍数。
具体做法如下：
把那些带有星号（“*”）的33的倍数加起来，就得到答案858。
做除法呢，就是连续减去加倍。
比如对753 除以 26，可以连续地把除数 26 加倍，一直到再加倍就超过被除数753为止。其程序如下：
126252410482081641628
右边的一列分别表示26的 1倍、2倍、4 倍、8倍、16倍，26 的32 倍已经超过被除数753，所以就没有列出。
因为
753＝416＋337
＝416＋208＋129
＝416＋208＋104＋25
这样我们又可以得到：753—26×（16＋8＋4）＝25减式中一共有16＋8＋4＝28个26，所以商就是28，余数为25。
有人会想了，如果一个除法中，商不是28，能不能由左边的那列数：1、2、4、8……，也就是2的各次乘幂，相加得到呢？
回答是肯定的。因为任何一个整数，都可以表示成2的各次幂的和。为什么呢？这是因为任何一个整数都可以用“除二取余”的方法化成二进制数。
一进制数不就是2的乘幂的和吗？
埃及的乘法和除法在计算过程中不仅不需要乘法表，而且便于用算盘。古埃及的乘法程序不断发展，到后来就把上面讲过的叠加法改变为“双倍和折半法”。
假如我们还是以33乘以26，那么就可以连续地减半26，并对33连续加倍：
然后把倍列中的那些与半列中奇数相对应的33倍数加起来，即 66＋264＋528，便得到乘积858。
这其中的道理其实只要把26化为二进制数，就能理解。
今天电脑中的乘法就是用这种方法进行的，因为电脑中数的表示都是二进制。相信朋友们自己能够解决这个问题，我们就不多谈了。
埃及人的分数记法也比较独特，还比较复杂。比如在像形文字中：
大家可以看到这卯形（■）的下面是个整数，所以卯形■加在整数上就表示是一个几分之一的分数，也就是单位分数。
其他的分数就用单位分为九的和来表示
在莱因德纸草文书中有个数表，把分子为2而分母为5到101的奇数的这样一些分数，表达成单位分数的和：
利用这张数表，就能把其他一些分数写成分子为1的单位分数之和，埃及人利用单位分数来进行分数四则运算。
这分数运算这么一来很繁琐，恐怕这也是尼罗泥畔的算术和代数没有达到更高水平的原因吧。
在莱因德纸草文书的85个问题中，许多都是用来计算面包的分法，啤酒的深度，牛和家禽的饲料混和比例，还有谷物贮藏等的。
对于其中出现的未知量，他们用纯粹算术的方法，没有解方程这种想法。
有些是用后来在欧洲称为“试位法”的方法来解决的。
当然，埃及人当时并没有用未知量、方程，而是用文字去叙述解的过程的。所以这基本上只能是算术。
在莱因德纸草卷中，有一个问题（第79号问题）很有趣，对它的解释也五花八门。在这个问题中，出现了一组奇妙的数据。我们把这个问题写在下面：
一个人的全部财产
房子7
猫 49
老鼠343
麦穗2410
谷物1680719607
眼睛尖的读者可能已经发现，这些数是7的前5次幂，最后是它们的和。这样，人们一开始就认为这不过是一张形象一点的7的乘方表。
然而有位历史学家康托尔（不是那位数学家）在 1907年对此给了一个更精彩也更合理的说法。
他首先联想到中世纪一位意大利数学家斐波那契在他的《算盘书》中谈到的一个问题：“有七个老妇人走在去罗马的路上，每人有七匹骡子；每匹骡子驮七条口袋；每只口袋装七个大面包；每个面包带七把小刀；每把小刀有七层刀鞘。在去罗马的路上，妇人、骡子、口袋、面包、小刀和刀鞘，一共有多少？”
这个问题后来在英国还演变成了一首童谣：
我赴圣地爱弗西，
途遇妇女数有七，
一人七袋手中提一袋七猫数整齐，
一猫七子紧相依，
妇女、布袋、猫与子，
多少同时赴圣地？
这么简单的一联想，思维的火花顿时迸出光芒，康托尔很自然地把莱因德79号问题解释成：“一份财产包括七间房子；每间房子有七只猫；每只猫吃七只老鼠；每只老鼠吃七个麦穗；每个麦穗产七克谷物。在这份财产中，房子、猫、老鼠、麦穗和谷物，总共有多少？”
当今天的孩子在唱英国人的那首有趣的绕口令时，不知是否知道，这也许还是三千七百年前埃及人留传下来的呢！
埃及人的几何又是怎样呢？尼罗河畔自然不能缺少几何；而谈到几何，自然又想到巍巍屹立的金字塔。
公元前2900年建造的胡夫金字塔最大，它原高为146．5米（现在还剩下137米），用 2000000块石头组成，每块平均重2．5吨，非常仔细地砌在一起。正方形的底面每边长233米（现在227米）。
此外金字塔的四个面正对着东南西北，与正北的偏差也只有3′左右。这么高大的金字塔，建造精度如此之高，唯有叹服也！不过有人认为，莫斯科纸草文书的第14个问题，更是一座最伟大的金字塔。
在这个问题中，要你求一个截去了顶的金字塔，也就是现在常说的棱台的体积。当然，它接着就告诉你上、下两个正方形的边长，这个截顶金字塔的高。然后就教你怎么算了。
从这些埃及人的伟大教导中，我们竟得出了一个连现代人都感到困难的四梭台计算公式：
这里当然是用了现代的记法，h代表高，a、b分别是上、下正方形的边长。
这也许是埃及几何里最了不起的一项成就了，因为它完全正确。
不过在计算比较简单的四边形的面积时，却有一个明显的，令人迷惑不解的错误。
在一个庙宇的墙上就刻有一张捐献田地的表，这些田地一般都有四边，我们用a、b、c、d表示它们的长。并且，a、b两边相对，C、d两边相望。
不过，这一次埃及人给我的教导令人失望，墙上刻出的这些田地的面积是：
/collect/201608/13/162317_4c5b70da3c76947.jpg
这个公式用来计算长方形时是完全正确的，但用来计算一般的四边形面积就不对了。如果这个四边形的四角与直角相差太大，那误差就非常明显了。
/collect/201608/13/162437_4c5b70da3d32147.jpg
有一个流传很广的说法；古埃及的拉绳人（测量员），在绳子上打结，把全长分成3比4比5的三段，然后用来构成直角，或者构成直角三角形。
这个美好传说在纸草文卷和庙宇壁刻上都找不到痕迹。
但是找不到并不能说他们对勾股定理没有认识。应当相信，许多普遍性的东西在各个文明发源地都会有发现，有表现的。
所以有人建议，如果地球人发射宇宙飞船去寻找外星人的话，不妨用勾股定理去作勾通的名片，交流的话题。当然，这送去当礼物的勾股定理有什么文字书写，用什么话去说都没什么用，外星人谁懂得你地球上的一套信息符号呢？所以有人就又建议把这勾股定理画成一幅一看就懂得的几何图，行不行就是两说了。因为外星人有没有更是两说呢。
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这d，自然是直径。这就等于取圆周率为3．1605，够精确的了。
尼罗河定期泛滥，这样，观察好天象，研究好历法可是件大事，这可真正是关系到能不能得到食物的事情。古埃及靠观察天狼星来算得一年的日子。他们把一年定为365天，分为12个月，每月30天，年末外加5天。不过他们的天文学比起巴比伦人来，要逊色多了。
不过，埃及人在天文和几何方面有另一项好记录，他们造的神庙，能使一年中白天最长的那一天（也就是夏至），阳光可以直照入庙宇，照亮祭坛上的神像。小民们不知事情缘故，自然是惊恐地或惊讶地伏在神像下多叩头了。
两边文明一一叙，让咱们再回到华夏古国。
却说这周公、商高的一番对话，自然使我们好激动。不过大家对只有“勾三、股四、弦五”这点内容当然不够满意。3、4、5 这一组数毕竟只是最好找的毕氏三数。
那么，商高们似乎并不仅仅停留在勾股定理的一些特殊情况。
《周髀算经》中在摆谈了一阵周公、商高的恳谈后，又出现了一段荣方和陈子的问答。这荣方与陈子是何年何月何处人氏，典籍都没有交代，想必不是名人，不像周公旦那样名声远播。但陈子的一席话却是有历史纪念碑般的作用，不可小觑。
陈子曰：“若求斜至日者，以日下为勾，日高为股。勾、股各自乘，并而开方除之，得斜至日。”
陈子是在说，你想求出“斜至日”（弦），只要把勾股分别平方（自乘），然后相加，再对其开平方，也就是说：
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这样，我们的勾股定理就不限于3、4、5这些具体情况，而是有着对任意直角三角形都适用的一般形式。因此，尽管我们古人对勾股定理并没有像希腊的毕达哥拉斯那样去证明，但却要早几百年发现。
这《周髀算经》是中国最古老的算书，大约在2000多年前写成，主要记述的是周代的一些数学、天文知识。
“髀”的原意是股或股骨，所谓“髀者，股也”，就是这个意思。这里是用来指测量太阳影子的“表”了，也就是标杆。想必当初一开始用的标杆就是动物的一段股骨。
“正晷者，勾也”，这是陈子对“勾”的说法，意思是影子的长。所以，这陈子得出勾股定理，是从测量太阳影子的工作中取得的。知道了标杆的长和影子的长，就能把“斜至日”，也就是影子的未端与标杆的顶端的那一段算出来。
陈子教导荣方说，夏至的时候到南面16000里的地方，冬至的时候南去135000里，正中午时候立一根杆子，就没有影子了。
竹筒测日径陈子的胆子倒确实不小，他居然测量起太阳的直径！用的方法也很先进。“即取竹，空径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩日，而日应空”，就是说用根空心的竹杆，直径一寸，长八十寸（八尺），朝太阳去看，竹筒的那个圆（“空”）正好把“日”满满地套住，不留一点空。这也许就是“管窥蠡测”中的管窥吧。
接下来是用比例来计算日径。竹筒口径与筒长之比是 1：80，当时认为观察者至太阳是100000里，如果没日径为D，那么：
D：100000＝l：8，
这样得到：D＝1250里。
由于日地距离取十万里误差太大，当然这里的日径也与实际的相差太远，不过我们更应该为陈子的勇气，陈子的观测方法和计算方法而惊叹不已。
用比例来计算，来测量，远在三千年的中国就有这样先进的方法，真是太了不起了。
当时在《淮南子》等书中也有这方面的内容：“若使景（就是影子）与表相等，则高与远等也。”这“表”也就是前面说过的标杆。
这可是个很有用的测量高度的方法。比如说我们现在想测量一下电视塔的高度，怎么办呢？可以拿一根标杆，立在太阳底下，等影子和标杆的长度一样了，赶紧再测量电视塔的影子，那么这电视塔影子的长度，就是它的高度了。
这里面用的就是相似三角形对应线段成比例的知识。所以同学们自然会想到，倒不必一定要等到影子和标杆一样长再动手，任何时候只要有影子就都可进行啦！
这影子的研究可是重要的很。在古代，没有钟，也没有其他天文观察仪器，全靠看太阳投射的影子来确定时间和节气了。用来计算时间的，叫日晷，根据日晷的影子来确定一天的时间。用来定出节气的，就是“髀”了，也就一根标杆，根据一年里这根标杆的影长，来定出二十四节气。
《周髀算经》中的“髀”是八尺长。这些古人首先测出影子最长的冬至和影子最短的夏至（当然是中午时分的影子），分别是一丈三尺五寸和一尺六寸。
以冬至到夏至共有12个节气，用12去除冬至与夏至的影长的差：
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这就得到了从冬至开始，每个节气影长减少的长度，正所谓：“八节二十四气，气损益九寸九分、六分分之一。”
这样，每个节气逐次相减，到了夏至以后又每个节气逐次相增，《周髀》中就列出了中午时分，八尺“表”（即标杆）的影长表。
同学们自不妨也弄个标杆树在自家门口，具体地测一测冬、夏至和其他节气的影子，倒是件增长学问的好事情。
《骨髀》中给出的这些节气影子的长度，实际就是一个等差数列。更值得注意的是，这其中出现了分数。
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您瞧，不但有分数，而且有角度，还出现了各种带分数。从 3500年前的阿摩斯草纸卷到十五、六世纪的欧洲，西域之人一直可怜而不幸地用着古埃及人所用的分数，脑袋里弄得昏天黑地。可是在华夏古国，一开始就是先进的十进分数，确实是独领风骚几千年了。
《周髀》中周公、商高的交谈中有“矩出于九九八十一”说法。说明“九九”表早已有之了。
说到“九九”表我们又想到了一件趣事。
春秋五霸之一的齐桓公想称霸中华，开了个招贤馆延聘贤才。但是招聘广告贴出去多时了还未见有一个人上门，倒不是那时候各个单位卡住档案不
放人，而是因为大家对齐桓公先生的诚意有点不相信。
话说有一天有一个人前来求见，齐桓公问道：“你有什么本领啊？”来人答曰“我会‘九九歌’”。
齐桓公扑哧一笑：“会背‘九九歌’也算是件本领吗？”
这人不慌不忙地说：“这‘九九歌’确实不够资格拿来作为见面礼，但是您对我这个只懂得“九九’的人都能重视重用的话，还愁比我高明的人不接踵而来吗？”
齐桓公一听精神一振，立即请讲招贤馆隆重招待。果然不出一个月，许多有识之士纷至沓来，投入“齐董事长”帐下效力。
这就告诉我们早在春秋时期，会背“九九歌”已经很不稀奇，更不要说加、减、乘、除四则运算了。
再说这春秋战国乃百家争鸣、百“子”并立的热闹时期，内中单道一位姓墨名翟人称墨子的先生。墨子是主张“非攻”的，是当时“绿色和平组织的领导者”，他与咱中国工程技术的祖师爷鲁班倒有过一段过节。
鲁班是当时有名的能工巧匠，会造各种器械，后来楚王把他延揽了去，造了攻城的云梯，准备攻宋。
墨子一听，立即从鲁国出发，走了十天十夜，鞋都走没了，就用破衣服裹一下脚。到得楚地，就给楚王做了番比喻，说了番道理。他说，你们楚国地方广阔，宋国才一点点；楚国物产丰富，而宋国还比较贫困，何必去攻宋呢？不有点像一个富人去偷穷邻居一样可笑吗？
楚王回答说，对是对，但现在鲁班高级工程师已经为寡人造了云梯了，一定要攻宋，没办法啦。
墨子笑道，那不要紧，我就和鲁先生演练一下，来一次沙盘演习。咱要是斗败了，掉脸就开路。
于是墨子解了衣带做一个城的模样，和鲁班演习起攻守之策。鲁工改变了9次攻城的战术，墨子都把他挡了回去。鲁班的攻城器械用完了，而墨老先生的守御办法还富富有余。
鲁班这时有些不起好心，对楚王说，我想还有最后一个办法。谁知墨子微微一笑说，鲁先生的意思是让楚杀掉我，可惜迟了，我的弟子早已拿着守城器械在宋国恭候您的大驾呢。
这一场化干戈为玉帛的故事说明墨子和鲁班都有相当丰富的几何知识。试想想，没有几何方面的认识，城墙的建造，距离、高低、土方等测量，器械的修造，又怎么可能呢？要知道，当时建筑中已开始绘制平面图，图上有建筑物的墙线、名称和墙之间的距离等等。
墨子他老人家不仅实践上数得着，理论上也独树一帜，有相当水平。《墨子》就是一本包含着逻辑学、力学、光学和几何学等方面内容的典籍。墨老先生用严格的逻辑方法来说明几何概念，这种做法和古希腊亚里斯多德有些相似。而“亚先生”正是形式逻辑的鼻祖。
《墨子》中有19条数学方面的内容，许多是与现代的观念一致的。当然不可避免地要提到矩形和圆，我们曾说过这是人类最早认识的图形。“方，柱隅四杂也”，墨子在这里所矩形说成是四条直边、四个直角构成的图形，完全准确、严密。对于圆，他是这样说的：“圆，一中同长也。”中，就是圆心。几乎不要解释大家都明白，它和我们现在圆的定义是多么的一致！不但有定义，而且有圆的作法，“圆，规写文也”，就是说圆是用圆规画出的，终点与起点相重合（“交”）的曲线。
《墨子》中还读到了分割问题，把一个物体从中间分开弃去一半，从剩余的一半中再弃去一半，如此分割下去，最后剩下一个不能分割的“端”，也就是一点。
这使大家想到古希腊一个著名的故事：飞毛腿阿基里斯和乌龟赛跑。
欲知后事如何，且听下回分解。
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