竞赛讲座 之 平面三角
12竞赛讲座－平面三角三角函数与反三角函数，是五种基本初等函数中的两种，在现代科学的很多领域中有着广泛的应用．同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一．
一、三角函数的性质及应用
三角函数的性质大体包括：定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等．这里以单调性为最难．它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用．
【例1】 求函数y=2sin(
-2x)的单调增区间。
解：y=2sin(
-2x)= 2sin(2x+
)。
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
，k∈Z，
得kπ-
≤x≤kπ-
，k∈Z。
即原函数的单调增区间为：[kπ-
，kπ-
]（k∈Z）。
【例2】 若φ∈（0，
），比较sin(cosφ)，cos(sinφ)，cosφ这三者之间的大小。
解：∵在（0，
）中，sinx
，∴sin(cosφ)
∵在（0，
）中，y=cosx单调递减，∴cosφ
∴sin(cosφ)
【例3】 已知x,y∈[-
，
]，a∈R，且
。求cos(x+2y)的值。
解：原方程组化为
。
∵x,-2y∈[-
，
]，函数f(t)=t3+sint在[-
，
]上单调递增，且f(x)=f(-2y)
∴x=2y，∴cos(x+2y)=1。
【例4】 求证：在区间（0，
）内存在唯一的两个数c、d(c＜d)，使得 sin（cosc）＝ c， cos（sind）＝ d．
证明：考虑函数f（x）＝cos（sinx）－x，在区间[0，
]内是单调递减的，并且连续，由于f（0）＝cos（sin0）－0=1>0，f（
）＝cos（sin
）－
= cos 1－
∴存在唯一的d∈（0，
），使f（d）＝0，即cos（sind）＝ d．
对上式两边取正弦，并令c=sind，有sin（cos（sind））=sin d，sin（cosc）=c。
显然c∈（0，
）。且由y=sinx在（0，
）上的单调性和d的唯一性，知c也唯一。
故存在唯一的c＜d，使命题成立。
【例5】
α、β、γ∈（0，
），且ctgα=α，sin(ctgβ)=β，ctg(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。
解：∵α、β、γ∈（0，
），∴ctgβ>0，0
。
∴β=sin(ctgβ) ctgγ。
作出函数y=ctgx在（0，
）上的图象，可看出：β
【例6】 n∈N，n≥2，求证：cos
?cos
? ??? ?cos
>
。
证明：∵0
∴0
，cos2
=1-sin2
>1-
=
，k=2，3，…，n。
∴(cos
?cos
? ??? ?cos
)2>(
?
)?(
?
)?(
/collect/201608/11/095908_4c5b5f55f1ded12.gif
?
/collect/201608/11/095908_4c5b5f55f29a412.gif
)???(
/collect/201608/11/095908_4c5b5f55f355a12.gif
?
/collect/201608/11/095908_4c5b5f55f411112.gif
)
=
?
/collect/201608/11/095908_4c5b5f55f411112.gif
>
>(
)2，
∴cos
?cos
? ??? ?cos
>
。
二、三角恒等变换
众多的三角公式，构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换，除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外，更重要的是抓住三角式的结构特征，从角和函数名入手，深入分析，灵活解题。
【例1】（1）已知cosβ= -
/collect/201608/11/095908_4c5b5f5600a8712.gif
，sin(α+β)=
/collect/201608/11/095908_4c5b5f560163d12.gif
，且0
（2）已知sin(
-α)=
/collect/201608/11/095908_4c5b5f5600a8712.gif
，求
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56021f412.gif
的值。
提示：（1）sinα=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5602daa12.gif
。
（2）sin2α=1-2 sin2(
-α)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560396112.gif
；
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56021f412.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560451812.gif
。
【说明】三角变换重在角的变换。
【例2】求cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560683b12.gif
…cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56073f112.gif
的值。
解法1：利用公式cosθcos2θcos4θ???cos2nθ=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5607fa812.gif
，得
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5608b5f12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560971512.gif
= -
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560a2cc12.gif
，∴cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5608b5f12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56073f112.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560a2cc12.gif
。
又cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560683b12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ae8212.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
，cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560c63712.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56073f112.gif
，
∴cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560d1ee12.gif
…cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56073f112.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560a2cc12.gif
×
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
×
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560d1ee12.gif
。
解法2：cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560683b12.gif
…cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56073f112.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560dda412.gif
?
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560e95c12.gif
?
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560f51212.gif
? ??? ?
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56100c812.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5612fa212.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560d1ee12.gif
。
解法3：利用公式cosαcos(
+α)cos(
-α)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
cos3α，取α=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
、
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
。
【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。
解：由倍角公式得
cos4θ=(
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5613f4012.gif
)2=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
(1+2cos2θ+cos22θ)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5614af712.gif
+
cos2θ+
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56156ad12.gif
cos4θ，
∴cos420°+cos440°+cos480°=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5614af712.gif
×3+
(cos40°+ cos80°+ cos160°)
+
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56156ad12.gif
(cos80°+ cos160°+ cos320°)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f561626312.gif
+
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5616e1a12.gif
(cos40°+ cos80°+ cos160°)
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f561626312.gif
+
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5616e1a12.gif
(2cos60° cos20°- cos20°)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f561626312.gif
。
【例4】若sinα+cosβ=
，cosα+sinβ=
，求sinαcosβ的值。
解：令θ=
-β，则
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56179d112.gif
(1)÷(2)得tg
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561858712.gif
=
， cos(α+θ)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5602daa12.gif
，
∴sinαcosβ=sinαsinθ= -
[ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = -
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561913d12.gif
。
【例5】已知f(x)=
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数，0
解法一：由偶函数的定义，可得(
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
cosθ+sinθ)sinx=0对任意x∈R成立。
∴
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
cosθ+sinθ=0，2 sin(θ+
)=0，
∴θ+=kπ，而0
。
解法二：由f(-
)=f(
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
)，得θ=
，然后验证f(x)是偶函数。
【例7】方程sinx+
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
cosx+a=0在（0，2π）内有相异两根α、β，求实数a的取值范围，以及α+β的值。
解：∵sinx+
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
cosx+a=0，∴sin (x+
)= -
/collect/201608/11/095912_4c5b5f5619cf412.gif
。
令t= x+
，则t∈(
，
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561a8ab12.gif
)，sint= -
/collect/201608/11/095912_4c5b5f5619cf412.gif
。
作出函数y= sint，t∈(
,
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561a8ab12.gif
)的图象：
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561b84912.jpg
由图象可以看出：当-1
/collect/201608/11/095912_4c5b5f5619cf412.gif
/collect/201608/11/095912_4c5b5f5619cf412.gif
≠
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561d39d12.gif
即-2
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
或-
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
/collect/201608/11/095912_4c5b5f5619cf412.gif
有相异两根t1、t2，原方程有相异两根α、β，并且
当-2
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
时，t1+t2=(α+
)+(β+
)=π，α+β=
；
当-
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
1+t2=(α+
)+(β+
)=3π，α+β=
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561a8ab12.gif
。
【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。
解：由已知得，
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561e33c12.gif
(1)2+(2)2得cos(x-y)= -
，
同理，cos(y-z)= -
，cos(z-x)= -
。
∴x，y，z中任意两角的终边夹角为
，不妨设
x=y+
+2mπ,m∈Z，y=z+
+2nπ,n∈Z，
∴x= z+
/collect/201608/11/095914_4c5b5f561f2d912.gif
+2(m+n)π，
x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π，
∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz
= tg3z+tg(z+
/collect/201608/11/095914_4c5b5f561f2d912.gif
)tg(z+
)tgz
= tg3z+tg(z+
)tg(z-
)tgz
= tg3z+ tgz tg(
+z)tg(
-z)
=0。
【说明】如能熟练运用下列公式，可对解题带来很大方便：
sinαsin(
+α)sin(
-α)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
sin3α，
cosαcos(
+α)cos(
-α)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
cos3α，
tgαtg(
+α)tg(
-α)=tg3α。
如sin10°sin50°sin70°=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
sin(3×10°)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56156ad12.gif
。
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