竞赛讲座 之 平面三角
12竞赛讲座-平面三角三角函数与反三角函数,是五种基本初等函数中的两种,在现代科学的很多领域中有着广泛的应用.同时它也是高考、数学竞赛中的必考内容之一.
一、三角函数的性质及应用
三角函数的性质大体包括:定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性、最值等.这里以单调性为最难.它们在平面几何、立体几何、解析几何、复数等分支中均有广泛的应用.
【例1】 求函数y=2sin(
-2x)的单调增区间。
解:y=2sin(
-2x)= 2sin(2x+
)。
由2kπ-
≤2x+
≤2kπ+
,k∈Z,
得kπ-
≤x≤kπ-
,k∈Z。
即原函数的单调增区间为:[kπ-
,kπ-
](k∈Z)。
【例2】 若φ∈(0,
),比较sin(cosφ),cos(sinφ),cosφ这三者之间的大小。
解:∵在(0,
)中,sinx
,∴sin(cosφ)
∵在(0,
)中,y=cosx单调递减,∴cosφ
∴sin(cosφ)
【例3】 已知x,y∈[-
,
],a∈R,且
。求cos(x+2y)的值。
解:原方程组化为
。
∵x,-2y∈[-
,
],函数f(t)=t3+sint在[-
,
]上单调递增,且f(x)=f(-2y)
∴x=2y,∴cos(x+2y)=1。
【例4】 求证:在区间(0,
)内存在唯一的两个数c、d(c<d),使得 sin(cosc)= c, cos(sind)= d.
证明:考虑函数f(x)=cos(sinx)-x,在区间[0,
]内是单调递减的,并且连续,由于f(0)=cos(sin0)-0=1>0,f(
)=cos(sin
)-
= cos 1-
∴存在唯一的d∈(0,
),使f(d)=0,即cos(sind)= d.
对上式两边取正弦,并令c=sind,有sin(cos(sind))=sin d,sin(cosc)=c。
显然c∈(0,
)。且由y=sinx在(0,
)上的单调性和d的唯一性,知c也唯一。
故存在唯一的c<d,使命题成立。
【例5】
α、β、γ∈(0,
),且ctgα=α,sin(ctgβ)=β,ctg(sinγ)=γ。比较α、β、γ的大小。
解:∵α、β、γ∈(0,
),∴ctgβ>0,0
。
∴β=sin(ctgβ) ctgγ。
作出函数y=ctgx在(0,
)上的图象,可看出:β
【例6】 n∈N,n≥2,求证:cos
?cos
? ??? ?cos
>
。
证明:∵0
∴0
,cos2
=1-sin2
>1-
=
,k=2,3,…,n。
∴(cos
?cos
? ??? ?cos
)2>(
?
)?(
?
)?(
/collect/201608/11/095908_4c5b5f55f1ded12.gif
?
/collect/201608/11/095908_4c5b5f55f29a412.gif
)???(
/collect/201608/11/095908_4c5b5f55f355a12.gif
?
/collect/201608/11/095908_4c5b5f55f411112.gif
)
=
?
/collect/201608/11/095908_4c5b5f55f411112.gif
>
>(
)2,
∴cos
?cos
? ??? ?cos
>
。
二、三角恒等变换
众多的三角公式,构成了丰富多彩的三角学。要灵活地进行三角恒等变换,除熟练地掌握三角公式以及一般的代数变形技巧外,更重要的是抓住三角式的结构特征,从角和函数名入手,深入分析,灵活解题。
【例1】(1)已知cosβ= -
/collect/201608/11/095908_4c5b5f5600a8712.gif
,sin(α+β)=
/collect/201608/11/095908_4c5b5f560163d12.gif
,且0
(2)已知sin(
-α)=
/collect/201608/11/095908_4c5b5f5600a8712.gif
,求
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56021f412.gif
的值。
提示:(1)sinα=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5602daa12.gif
。
(2)sin2α=1-2 sin2(
-α)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560396112.gif
;
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56021f412.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560451812.gif
。
【说明】三角变换重在角的变换。
【例2】求cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560683b12.gif
…cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56073f112.gif
的值。
解法1:利用公式cosθcos2θcos4θ???cos2nθ=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5607fa812.gif
,得
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5608b5f12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560971512.gif
= -
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560a2cc12.gif
,∴cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5608b5f12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56073f112.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560a2cc12.gif
。
又cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560683b12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ae8212.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
,cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560c63712.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56073f112.gif
,
∴cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560d1ee12.gif
…cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56073f112.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560a2cc12.gif
×
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
×
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560d1ee12.gif
。
解法2:cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560683b12.gif
…cos
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56073f112.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560dda412.gif
?
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560e95c12.gif
?
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560f51212.gif
? ??? ?
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56100c812.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5612fa212.gif
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560d1ee12.gif
。
解法3:利用公式cosαcos(
+α)cos(
-α)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
cos3α,取α=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56050ce12.gif
、
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5605c8512.gif
。
【例3】求cos420°+cos440°+cos480°的值。
解:由倍角公式得
cos4θ=(
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5613f4012.gif
)2=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
(1+2cos2θ+cos22θ)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5614af712.gif
+
cos2θ+
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56156ad12.gif
cos4θ,
∴cos420°+cos440°+cos480°=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5614af712.gif
×3+
(cos40°+ cos80°+ cos160°)
+
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56156ad12.gif
(cos80°+ cos160°+ cos320°)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f561626312.gif
+
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5616e1a12.gif
(cos40°+ cos80°+ cos160°)
=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f561626312.gif
+
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5616e1a12.gif
(2cos60° cos20°- cos20°)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f561626312.gif
。
【例4】若sinα+cosβ=
,cosα+sinβ=
,求sinαcosβ的值。
解:令θ=
-β,则
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56179d112.gif
(1)÷(2)得tg
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561858712.gif
=
, cos(α+θ)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f5602daa12.gif
,
∴sinαcosβ=sinαsinθ= -
[ cos(α+θ)+ cos(α-θ)] = -
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561913d12.gif
。
【例5】已知f(x)=
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
sin(x+θ)+cos(x-θ)是偶函数,0
解法一:由偶函数的定义,可得(
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
cosθ+sinθ)sinx=0对任意x∈R成立。
∴
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
cosθ+sinθ=0,2 sin(θ+
)=0,
∴θ+=kπ,而0
。
解法二:由f(-
)=f(
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
),得θ=
,然后验证f(x)是偶函数。
【例7】方程sinx+
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
cosx+a=0在(0,2π)内有相异两根α、β,求实数a的取值范围,以及α+β的值。
解:∵sinx+
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
cosx+a=0,∴sin (x+
)= -
/collect/201608/11/095912_4c5b5f5619cf412.gif
。
令t= x+
,则t∈(
,
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561a8ab12.gif
),sint= -
/collect/201608/11/095912_4c5b5f5619cf412.gif
。
作出函数y= sint,t∈(
,
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561a8ab12.gif
)的图象:
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561b84912.jpg
由图象可以看出:当-1
/collect/201608/11/095912_4c5b5f5619cf412.gif
/collect/201608/11/095912_4c5b5f5619cf412.gif
≠
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561d39d12.gif
即-2
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
或-
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
/collect/201608/11/095912_4c5b5f5619cf412.gif
有相异两根t1、t2,原方程有相异两根α、β,并且
当-2
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
时,t1+t2=(α+
)+(β+
)=π,α+β=
;
当-
/collect/201608/11/095410_4c5b5f556353b12.gif
1+t2=(α+
)+(β+
)=3π,α+β=
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561a8ab12.gif
。
【例8】已知sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0,求s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz的值。
解:由已知得,
/collect/201608/11/095912_4c5b5f561e33c12.gif
(1)2+(2)2得cos(x-y)= -
,
同理,cos(y-z)= -
,cos(z-x)= -
。
∴x,y,z中任意两角的终边夹角为
,不妨设
x=y+
+2mπ,m∈Z,y=z+
+2nπ,n∈Z,
∴x= z+
/collect/201608/11/095914_4c5b5f561f2d912.gif
+2(m+n)π,
x+y+z= 3z+2(m+2n+1)π,
∴s=tg(x+y+z)+tgxtgytgz
= tg3z+tg(z+
/collect/201608/11/095914_4c5b5f561f2d912.gif
)tg(z+
)tgz
= tg3z+tg(z+
)tg(z-
)tgz
= tg3z+ tgz tg(
+z)tg(
-z)
=0。
【说明】如能熟练运用下列公式,可对解题带来很大方便:
sinαsin(
+α)sin(
-α)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
sin3α,
cosαcos(
+α)cos(
-α)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
cos3α,
tgαtg(
+α)tg(
-α)=tg3α。
如sin10°sin50°sin70°=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f560ba3e12.gif
sin(3×10°)=
/collect/201608/11/095910_4c5b5f56156ad12.gif
。
页:
[1]