２０００年ＩＭＯ中国国家集训队选拔考试题目
12一、如图，
在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，线段ＡＢ上有一点Ｄ，线段ＡＣ的延长线上有一点Ｅ，使得ＤＥ＝ＡＣ；线段ＤＥ与?ＡＢＣ的外接圆交于Ｔ点，Ｐ是线段ＡＴ的延长线上的一点．证明：点Ｐ满足ＰＤ＋ＰＥ＝ＡＴ的充分必要条件是点Ｐ在△ＡＤＥ的外接圆上． （裘宗沪 供题）
二、给定正整数ｋ、ｍ、ｎ，满足１≤ｋ≤ｍ≤ｎ，试求的值，并写出推算过程．
（许以超 供题）
三、对正整数ａ≥２，记Ｎａ为具有以下性质的正整数ｋ的个数：ｋ的ａ进制表示的各位数字的平方和等于ｋ．证明：
（１）Ｎa为奇数；
（２）对任意给定的正整数Ｍ，存在正整数ａ≥２，使得Ｎa≥Ｍ．
（陈永高 供题）(２０００-０４-０１ ８：００～１２：３０)
四、设ｆ（ｘ）是整系数多项式，并且ｆ（ｘ）＝１有整数根．约定将所有满足上述条件的ｆ组成的集合记为Ｆ．对于任意给定的整数ｋ＞１，求最小的整数ｍ（ｋ）＞１，要求能保证存在ｆ∈Ｆ，使得ｆ（ｘ）＝ｍ（ｋ）恰有ｋ个互不相同的整数根．
（张筑生 供题）
五、（１）设ａ、ｂ是正实数，数列｛ｘｋ｝和｛ｙｋ｝满足
ｘ０＝１，ｙ０＝０，且
ｋ＝０，１，２，…．
求证：
ｘk＝ ，
其中λｋ，1＝ ．
（２）记ｕｋ＝ ，对任意给定的正整数ｍ，将ｕｋ除以２ｍ所得的余数记为ｚｍ，ｋ．求证：｛ｚｍ，ｋ?｝，ｋ＝０，１，２，…，为纯周期数列，并求出最小正周期．
（黄玉民 供题）
六、设ｎ为正整数，记集合Ｍ＝｛（ｘ，ｙ）｜ｘ，ｙ是整数，１≤ｘ，ｙ≤ｎ｝．定义在Ｍ上的函数ｆ具有性质：
（ａ）ｆ（ｘ，ｙ）取值于非负整数；
（ｂ）当１≤ｘ≤ｎ时，有 =n-1；
（ｃ）若ｆ（ｘ１，ｙ１）ｆ（ｘ２，ｙ２）＞０，则（ｘ１－ｘ２）（ｙ１－ｙ２）≥０.
试计算这样的函数ｆ的个数Ｎ（ｎ），并求出Ｎ（４）的具体数值．
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