几个重要不等式(二)柯西不等式题解
12几个重要不等式(二)柯西不等式
，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
柯西不等式的几种变形形式
1.设aiÎR,bi>0 (i=1,2,…,n)则
，当且仅当bi=lai (1£i£n)时取等号
2.设ai,bi同号且不为零(i=1,2,…,n)，则
，当且仅当b1=b2=…=bn时取等号
例1.已知a1,a2,a3,…,an，b1,b2,…,bn为正数，求证：
证明：左边=
例2.对实数a1,a2,…,an,求证：
证明：左边=
例3.在DABC中，设其各边长为a,b,c,外接圆半径为R，求证：
证明：左边³
例4.设a,b,c为正数，且a+b+c=1,求证：
证明：左边=
³
=
=
例5.若n是不小于2的正整数，试证：
证明：
所以求证式等价于
由柯西不等式有
于是：
又由柯西不等式有
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例6.设x1,x2,…,xn都是正数(n³2)且
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，求证：
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证明：不等式左端即
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(1)
∵
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，取
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，则
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(2)
由柯西不等式有
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(3)
及
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综合(1)、(2)、(3)、(4)式得：
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三、排序不等式
设a1£a2£…£an,b1£b2£…£bn;r1,r2,…,rn是1,2,…,n的任一排列，则有：
a1bn+ a2bn-1+…+ anb1£a1br1+ a2br2+…+ anbrn£ a1b1+ a2b2+…+ anbn
反序和£乱序和£同序和
例1.对a,b,cÎR+,比较a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小
解：取两组数a,b,c；a2,b2,c2，则有a3+b3+c3³a2b+b2c+c2a
例2.正实数a1,a2,…,an的任一排列为a1/,a2/,…an/，则有
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证明：取两组数a1,a2,…,an；
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其反序和为
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，原不等式的左边为乱序和，有
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例3.已知a,b,cÎR+求证：
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证明：不妨设a³b³c>0,则
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>0且a12³b12³c12>0
则
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例4.设a1,a2,…,an是1,2,…,n的一个排列，求证：
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证明：设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列，且b12n-1；
c1,c2,…,cn-1是a2,a3,…,an的一个排列,且c12n-1
则
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且b1³1,b2³2,…,bn-1³n-1；c1£2,c2£3,…,cn-1£n
利用排序不等式有：
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例5.设a,b,cÎR+,求证：
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证明：不妨设a³b³c,则
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，a2³b2³c2>0
由排序不等式有：
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两式相加得
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又因为：a3³b3³c3>0,
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故
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两式相加得
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例6.切比雪不等式：若a1£a2£…£an且b1£b2£…£bn,则
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a1£a2£…£an且b1³b2³…³bn,则
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证明：由排序不等式有：
a1b1+a2b2+…+anbn= a1b1+a2b2+…+anbn
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b2+a2b3+…+anb1
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1b3+a2b4+…+anb2
…………………………………………
a1b1+a2b2+…+anbn³ a1bn+a2b1+…+anbn-1
将以上式子相加得：
n(a1b1+a2b2+…+anbn)³ a1(b1+b2+…+bn)+ a2(b1+b2+…+bn)+…+ an(b1+b2+…+bn)
∴
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